Arkusz — wrzesień 2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia (1 + 3 ⋅ 2 −1 ) −2 jest równa A) 25 ⁄ 4 B) 4 ⁄ 25 C) 36 ⁄ 49 D) 40 ⁄ 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia

jest równa A) 1 B) 5 C) 10 D) 25

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez 25, jest A) 9 ⋅ 9 ⋅ 2 B) 9 ⋅ 10 ⋅ 2 C) 9 ⋅ 9 ⋅ 4 D) 9 ⋅ 10 ⋅ 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1 wyrażenie

jest równe A)

B)

C)

D)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie 9 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) jest równe A) [3 − (x − 2y)] 2 B) [3 + (x − 2y)] 2 C) [3 − (x + 2y)] 2 D) [3 − (x − y)] ⋅ [3 + (x − y)] E) [3 − (x + 2y)] ⋅ [3 + (x + 2y)] F) −[(x − y) − 3] ⋅ [(x − y) + 3]

Rozwiąż równanie

Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie A) jedno rozwiązanie: x = −3. B) dwa rozwiązania: x = −3, x = 0. C) trzy rozwiązania: x = −3, x = −1, x = 0. D) cztery rozwiązania: x = −3, x = −1, x = 0, x = 1.

Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

A) |x + 2| ≤ 2 B) |x − 2| ≤ 2 C) |x + 2| ≥ 2 D) |x − 2| ≥ 2

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł , 50 zł oraz 100 zł . Banknotów 100-złotowych było dwa razy więcej niż 50-złotowych , a banknotów 20-złotowych było o 2 mniej niż 50-złotowych . Niech x oznacza liczbę banknotów 50-złotowych , a y – liczbę banknotów 20-złotowych , które otrzymał ten klient. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb x i y to A)

B)

C)

D)

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych ( x , y ) , przedstawiono wykres funkcji ƒ określonej dla każdego x ∈ [−5,4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Zadanie 10.1. Podaj zbiór wartości funkcji ƒ. ......................... Zadanie 10.2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Dla każdego argumentu z przedziału (−4,−2) funkcja ƒ przyjmuje wartości ujemne. A) prawda B) fałsz Funkcja ƒ ma trzy miejsca zerowe. A) prawda B) fałsz Zadanie 10.3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Najmniejsza wartość funkcji ƒ w przedziale [−4,0] jest równa A) (−4) B) (−3) C) (−2) D) 0

W kartezjańskim układzie współrzędnych ( x , y ) dane są: punkt A = (8,11) oraz okrąg o równaniu ( x − 3) 2 + ( y + 1) 2 = 25. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odległość punktu A od środka tego okręgu jest równa A) 25 B) 13 C) √ 125 D) √ 265

Basen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość y basenu zmienia się wraz z odległością x od brzegu w sposób opisany funkcją:

Odległość x jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości x i y są wyrażone w metrach.

Zadanie 12.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największa głębokość basenu jest równa A) 5,4 m B) 3,6 m C) 2,2 m D) 1,8 m Zadanie 12.2. Oblicz wartość współczynnika a oraz wartość współczynnika b . Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa ƒ jest określona wzorem ƒ( x ) = −( x − 1) 2 + 2. Zadanie 13.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wykresem funkcji ƒ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne A) (1,2) B) (−1,2) C) (1,−2) D) (−1,−2) Zadanie 13.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wartości funkcji ƒ jest przedział A) (−∞,2] B) (−∞,2) C) (2,+∞) D) [2,+∞)

Dany jest ciąg

określony wzorem

dla każdej liczby naturalnej

. Zadanie 14.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu

jest A)

B)

C)

D)

Zadanie 14.2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Ciąg

jest geometryczny. A) prawda B) fałsz Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

jest równa 20. A) prawda B) fałsz

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych ( x , y ) , dana jest prosta k o równaniu y = 3 x + b , przechodząca przez punkt A = (−1,3). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik b w równaniu tej prostej jest równy A) 0 B) 6 C) (−10) D) 8

Dany jest ciąg ( a n ) określony wzorem a n = 3 n − 1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Zadanie 16.1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Ciąg ( a n ) jest A) rosnący, B) malejący, C) stały, ponieważ dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 A) a n+1 − a n = −1 B) a n+1 − a n = 0 C) a n+1 − a n = 3 Zadanie 16.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Najmniejszą wartością n , dla której wyraz a n jest większy od 25, jest A) 8 B) 9 C) 7 D) 26 Zadanie 16.3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma n początkowych wyrazów ciągu ( a n ) jest równa 57 dla n równego A) 6 B) 23 C) 5 D) 11

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych ( x , y ), dane są: prosta k o równaniu

prosta l o równaniu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k i l A) się pokrywają. B) nie mają punktów wspólnych. C) są prostopadłe. D) przecinają się pod kątem 30°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia (1 − cos20°) ⋅ (1 + cos20°) − sin 2 20° jest równa A) (−1) B) 0 C) 1 D) 20

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 4∶5 . Z pojemnika losujemy jedną kulę. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A) 4 ⁄ 9 B) 4 ⁄ 5 C) 1 ⁄ 9 D) 1 ⁄ 4

Punkty A , B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Kąt ABO ma miarę 40°, a kąt OBC ma miarę 10° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ACO jest równa A) 30° B) 40° C) 50° D) 60°

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

W trójkącie ABC bok AB ma długość 4, a bok BC ma długość 4,6. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D takim, że | AD | = 3,2 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek CD ma długość A) 64 ⁄ 23 B) 16 ⁄ 5 C) 23 ⁄ 4 D) 92 ⁄ 25

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P ( x ) = 251 x koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K ( x ) = x 2 + 21 x + 170. Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Firma ℱ zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy ℱ, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Zadanie 24.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie ℱ jest równa A) 4 593,75 zł B) 4 800,00 zł C) 5 360,00 zł D) 2 399,33 zł Zadanie 24.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy ℱ jest równa A) 4 000 zł B) 4 800 zł C) 5 000 zł D) 5 500 zł Zadanie 24.3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba pracowników firmy ℱ, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa 5 000 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%) A) 91% liczby wszystkich pracowników tej firmy. B) 78% liczby wszystkich pracowników tej firmy. C) 53% liczby wszystkich pracowników tej firmy. D) 22% liczby wszystkich pracowników tej firmy.

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√ 3 , a każda jego krawędź boczna ma długość 15. Oblicz wysokość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10 n 2 + 30 n + 8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. <ul class="