Arkusz — maj 2025

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba (√ 32 − √ 2 ) 2 jest równa A) 16 B) 18 C) 30 D) 34

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

jest równa A) 30 B) 31 C) 5 12 D) 5 27

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba log 3 108 − 2log 3 2 jest równa A) 3 B) 9 C) log 3 104 D) 2log 3 54

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia (3𝑥 + 2) 2 − (2𝑥 − 3) 2 jest równa wartości wyrażenia A) 5𝑥 2 − 5 B) 5𝑥 2 + 13 C) 5𝑥 2 + 24𝑥 − 5 D) 5𝑥 2 + 24𝑥 − 13

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟑𝒏 𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝟕 jest podzielna przez 𝟒.

Dana jest nierówność 3 − 2(1 − 2𝑥) ≥ 2𝑥 − 17 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A)

B)

C)

D)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 2𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 2 + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A) dwa rozwiązania: (−3) oraz 0. B) dwa rozwiązania: (−3) oraz 2. C) trzy rozwiązania: (−5), (−3) oraz 0. D) cztery rozwiązania: (−5), (−3), 0 oraz 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od (−2) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia

jest równa wartości wyrażenia A)

B)

C)

D)

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych – zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż nierówność 𝟑(𝟐𝒙 𝟐 + 𝟏) Zapisz obliczenia.

Funkcja 𝑓 jest określona następująco:

Wykres funkcji 𝑦=𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) na rysunku poniżej.

1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział ......................... 2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział ......................... 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ......................... 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 3 jest przedział .........................

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie o współrzędnych (0,3).

Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑚)𝑥 − 4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja 𝑓 nie ma miejsca zerowego dla 𝑚 równego A) (−3) B) 0 C) 3 D) 4

Ciąg (𝑎𝑛) jest określony następująco:

dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1

Wyznacz wartość 𝒎 , dla której trzywyrazowy ciąg (𝟐𝒎 + 𝟏𝟏, 𝒎 𝟐 + 𝟑, 𝟓 − 𝒎) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg geometryczny (𝑎 𝑛 ) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1, w którym 𝑎 1 = 27 oraz 𝑎 2 = 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Czwarty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy A) 1/3 B) 1 C) 3 D) 729

Kąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek √ 3 tg𝛼 = 2 sin𝛼. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta 𝛼 jest równy A) 1/2 B) √ 2 /2 C) √ 3 /2 D) √ 3 /3

Dany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną, przyprostokątna 𝐴𝐵 ma długość 6, a środkowa 𝐶𝐷 ma długość 5. Oznaczmy kąt 𝐴𝐷𝐶 przez 𝛼, natomiast kąt 𝐴𝐵𝐶 – przez 𝛽 (zobacz rysunek).

Punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Miara kąta 𝐵𝐶𝐴 jest równa 50° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝑂 jest równa A) 20° B) 35° C) 40° D) 50°

W trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 dane są: |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 4 i |𝐴𝐵| = 3. Na boku 𝐵𝐶, między punktami 𝐵 i 𝐶, wybrano taki punkt 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek 𝐵𝐷 ma długość A) 2 B) 2,25 C) 2,5 D) 3

Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 11, |𝐵𝐶| = 12 oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 60° (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. A) prawda B) fałsz Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 33√ 3 . A) prawda B) fałsz SCHEMAT PUNKTACJI 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴 = (4,−1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie 𝑆 = (1,3). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość A) 5 B) 7 C) 10 D) 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami 𝑘: 𝑦 = (𝑚−2)𝑥 + 5 𝑙: 𝑦 = −4𝑥 + (𝑚 + 3) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa A) (−4) B) (−2) C) 2 D) 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) punkt 𝑃 = (0,0) leży na okręgu 𝒪 o środku w punkcie 𝑆 = (2,4). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg 𝒪 jest określony równaniem A) A. (𝑥 − 2) 2 + (𝑦 − 4) 2 = 2√ 5 B) B. (𝑥 − 2) 2 + (𝑦 − 4) 2 = 20 C) C. (𝑥 + 2) 2 + (𝑦 + 4) 2 = 2√ 5 D) D. (𝑥 + 2) 2 + (𝑦 + 4) 2 = 20

Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Objętość sześcianu jest równa 729. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A) 9√ 3 B) 9√ 2 C) 3√ 3 D) 3√ 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest A) 45 B) 50 C) 54 D) 81

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie 𝐴 polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe A) 1 ⁄ 36 B) 6 ⁄ 36 C) 11 ⁄ 36 D) 2 ⁄ 36

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥, 𝑦, jest równa 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma 𝑥 + 𝑦 jest równa A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ......................... 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa .........................

Rozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których krawędź 𝐵𝐶 ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka 𝐵 jest równa 15 (zobacz rysunek). Niech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷 . Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia. <ul class="