Arkusz — maj 2019

Liczba log √ 2 2 jest równa A) 2 B) 4 C) √ 2 D) ½

Liczba naturalna n = 2 14 ⋅ 5 15 w zapisie dziesiętnym ma A) 14 cyfr B) 15 cyfr C) 16 cyfr D) 30 cyfr

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A) 1% B) 25% C) 33% D) 75%

Równość

jest prawdziwa dla A)

B)

C)

D)

Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań

A) a = − 1 B) a = 1 C) a = − 2 D) a = 2

Równanie

A) ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = 3, x = − 2. B) ma trzy różne rozwiązania: x = − 1, x = − 3, x = 2. C) ma dwa różne rozwiązania: x = 1, x = − 2. D) ma dwa różne rozwiązania: x = − 1, x = 2.

Miejscem zerowym funkcji liniowej ƒ określonej wzorem

A) 3 − 6√ 3 B) 1 − 6√ 3 C) 2√ 3 – 1 D) 2√ 3 – 1 ⁄ 3 Tekst do zadań 8.-10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ƒ. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, − 4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji ƒ.

Zbiorem wartości funkcji ƒ jest przedział A) (− ∞,0⟩ B) ⟨0, 4⟩ C) ⟨− 4, + ∞) D) ⟨4, + ∞) Tekst do zadań 8.-10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ƒ. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, − 4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji ƒ.

Największa wartość funkcji ƒ w przedziale ⟨1,4⟩ jest równa A) − 3 B) − 4 C) 4 D) 0 Tekst do zadań 8.-10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ƒ. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (2, − 4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji ƒ.

Osią symetrii wykresu funkcji ƒ jest prosta o równaniu A) y = − 4 B) x = − 4 C) y = 2 D) x = 2

W ciągu arytmetycznym ( a n ), określonym dla n ≥ 1 , dane są dwa wyrazy: a 1 = 7 i a 8 = − 49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A) –168 B) –189 C) –21 D) –42 pokaż wskazówkę »

Dany jest ciąg geometryczny ( a n ), określony dla n ≥ 1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek

Iloraz tego ciągu jest równy A) 1 ⁄ 3 B) 1 ⁄ √ 3 C) 3 D) √ 3

Sinus kąta ostrego α jest równy 4 ⁄ 5 . Wtedy A) cos α = 4 ⁄ 5 B) cos α = 1 ⁄ 5 C) cos α = 9 ⁄ 25 D) cos α = 3 ⁄ 5

Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę α .

Zatem A) α = 30 ° B) α C) α > 45 ° D) α = 45 °

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B . Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).

Wtedy A) |OK| = 6 B) |OK| = 8 C) |OK| = 10 D) |OK| = 12

Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150° . Pole tego rombu jest równe A) 8 B) 12 C) 8√ 3 D) 16

Proste o równaniach y = (2m + 2)x − 2019 oraz y = (3m − 3)x + 2019 są równoległe, gdy A) m = − 1 B) m = 0 C) m = 1 D) m = 5

Prosta o równaniu y = ax + b jest prostopadła do prostej o równaniu y = −4x + 1 i przechodzi przez punkt P = (½,0), gdy A) a = − 4 i b = − 2 B) a = 1 ⁄ 4 i b = − 1 ⁄ 8 C) a = − 4 i b = 2 D) a = 1 ⁄ 4 i b = 1 ⁄ 2

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej ƒ . Na wykresie tej funkcji leżą punkty A = (0, 4) i B = (2, 2) .

Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji g określonej wzorem A) g(x) = x + 4 B) g(x) = x − 4 C) g(x) = −x − 4 D) g(x) = −x + 4

Dane są punkty o współrzędnych A = (− 2, 5) oraz B = (4, − 1) . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A) 12 B) 6 C) 6√ 2 D) 2√ 6

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek).

Przekątna KL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa A) 5,83 dm B) 6,16 dm C) 3,61 dm D) 5,39 dm

Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A) 8 B) 4 C) 16 D) 12

Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a , 16, 25, jest równa 14. Zatem A) a = 7 B) a = 12 C) a = 14 D) a = 20 pokaż wskazówkę »

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A) 12 B) 36 C) 162 D) 243

W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A) 1 ⁄ 8 B) 1 ⁄ 5 C) 1 ⁄ 40 D) 1 ⁄ 35

Rozwiąż równanie (x 3 − 8)(x 2 − 4x − 5) = 0 .

Rozwiąż nierówność 3x 2 − 16x + 16 > 0 .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a 2 − 2ab + 3b 2 ≥ 0 .

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.

Ciąg arytmetyczny (a n ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Różnicą tego ciągu jest liczba r = − 4 , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 , jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę k, dla której a k = − 78 .

Dany jest punkt A = (−18,10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α.