Arkusz — kwiecień 2020

Niech a = −2 , b = 3. Wartość wyrażenia a b − b a jest równa A) 73 ⁄ 9 B) 71 ⁄ 9 C) − 73 ⁄ 9 D) − 71 ⁄ 9

Liczba 9 9 ∙ 81 2 jest równa A) 81 4 B) 81 C) 9 13 D) 9 36

Wartość wyrażenia log 4 8 + 5log 4 2 jest równa A) 2 B) 4 C) 2 + log 4 5 D) 1 + log 4 10

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła A) o mniej niż 50%, ale więcej niż 40% B) o mniej niż 60% , ale więcej niż 50% C) dokładnie o 60% D) o więcej niż 60%

Liczba (2√ 7 − 5) 2 · (2√ 7 + 5) 2 jest równa A) 9 B) 3 C) 2809 D) 28 − 20√ 7

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb x spełniających warunek: 11 ≤ 2x−7 ≤ 15 . A)

B)

C)

D)

Rozważmy treść następującego zadania: Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków tego prostokąta jest o 10 dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta. Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta? A)

B)

C)

D)

Rozwiązaniem równania

, gdzie x ≠ – 2 , jest liczba należąca do przedziału A) (–2,1) B) ⟨1,+∞) C) (–∞,–5) D) ⟨–5,–2)

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3 : 4 : 5 . Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość A) 41 2 ⁄ 3 metra B) 33 1 ⁄ 3 metra C) 60 metrów D) 25 metrów

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej ƒ określonej wzorem ƒ(x) = x 2 + bx + c .

Współczynniki b i c – we wzorze funkcji ƒ – spełniają warunki: A) b c > 0 B) b c C) b > 0 i c > 0 D) b > 0 i c

Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) , określony dla n ≥ 1, w którym są dane: a 1 = 2 i a 2 = 9 . Wtedy a n = 79 dla A) n = 10 B) n = 11 C) n = 12 D) n = 13

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81, 3x, 4) . Stąd wynika, że A) x = 18 B) x = 6 C) x = 85 ⁄ 6 D) x = 6 ⁄ 85

Kąt α jest ostry i spełniona jest równość

. Stąd wynika, że A) cosα = 24 ⁄ 49 B) cosα = 5 ⁄ 7 C) cosα = 25 ⁄ 49 D) cosα = 5√ 6 ⁄ 7

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121° , a kąt BOC ma miarę 40°.

Kąt AOB ma miarę A) 59° B) 50° C) 81° D) 78°

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a ponadto |AE| = |DE| = 4 , |AB| = 6 (zobacz rysunek).

Odcinek CE ma długość A) 16 ⁄ 3 B) 8 ⁄ 3 C) 8 D) 6

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe 6√ 3 . Bok tego trójkąta ma długość A) 3√ 2 B) 2√ 3 C) 2√ 6 D) 6√ 2

Punkty B = (–2,4) i C = (5,1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A) 29 B) 40 C) 58 D) 74

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej SA ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD to A) ∢SAO B) ∢SAB C) ∢SOA D) ∢ASB

Graniastosłup ma 14 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa A) 14 B) 21 C) 28 D) 26

Prosta k przechodzi przez punkt A = (4,–4) i jest prostopadła do osi Ox . Prosta k ma równanie A) x – 4 = 0 B) x – y = 0 C) y + 4 = 0 D) x + y = 0

Prosta l jest nachylona do osi Ox pod kątem 30° i przecina oś Oy w punkcie (0,– √ 3 ) (zobacz rysunek).

Prosta l ma równanie A) y = √ 3 ⁄ 3 x – √ 3 B) y = √ 3 ⁄ 3 x + √ 3 C) y = 1 ⁄ 2 x – √ 3 D) y = 1 ⁄ 2 x + √ 3

Dany jest stożek o wysokości 6 i tworzącej 3√ 5 . Objętość tego stożka jest równa A) 36π B) 18π C) 108π D) 54π

Średnia arytmetyczna zestawu ośmiu danych: x , 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa A) 8 B) 9 C) 10 D) 16

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż 2017? A) 2016 B) 2017 C) 1016 D) 1017

Z pudełka, w którym jest tylko 6 kul białych i n kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 1 ⁄ 3 . Liczba kul czarnych jest równa A) n = 9 B) n = 2 C) n = 18 D) n = 12

Rozwiąż nierówność 2x 2 + x – 6 ≤ 0 .

Rozwiąż równanie (x 2 – 6)(3x + 2) = 0 .

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∢ACB| = 90° i |∢ABC| = 60° . Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej AB tego trójkąta. Wykaż, że |AD| : |DB| = 3 :1 .

Ze zbioru liczb {1,2,4,5,10} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Dany jest ciąg arytmetyczny ( a n ) , określony dla n ≥ 1 , w którym spełniona jest równość a 21 + a 24 + a 27 + a 30 = 100 . Oblicz sumę a 25 + a 26 .

Funkcja kwadratowa ƒ określona wzorem ƒ(x) = ax 2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x 1 = –2 i x 2 = 6 . Wykres funkcji ƒ przechodzi przez punkt A =(1,–5). Oblicz najmniejszą wartość funkcji ƒ.

Punkt C =(0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC , którego wierzchołek A leży na osi Ox , a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D =(3,4).

Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB .

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∢ACB| = 90° (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4 : 3 . Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.