Arkusz — maj 2018 · Szybka Matematyka

Liczba 2log 3 6 − log 3 4 jest równa A) 4 B) 2 C) 2log 3 2 D) log 3 8

Dane są liczby a = 3,6·10 –12 oraz b = 2,4·10 –20 . Wtedy iloraz a ⁄ b jest równy A) 8,64·10 –32 B) 1,5·10 –8 C) 1,5·10 8 D) 8,64·10 32

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A) 865,00 zł B) 850,15 zł C) 1000,00 zł D) 977,50 zł

Zbiorem wszystkich rozwiązań podanej nierówności

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem ƒ(x)= –2(x+3)(x–5) . Liczby x 1 ,x 2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji ƒ. Zatem A) x 1 +x 2 = –8 B) x 1 +x 2 = –2 C) x 1 +x 2 = 2 D) x 1 +x 2 = 8

A) ma trzy rozwiązania: x = − 2 , x = 0 , x = 2 B) ma dwa rozwiązania: x = 0 , x = − 2 C) ma dwa rozwiązania: x = − 2 , x = 2 D) ma jedno rozwiązanie: x = 0

Funkcja liniowa ƒ określona jest wzorem

, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A) Funkcja ƒ jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0, 1 ⁄ 3 ) B) Funkcja ƒ jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0, -1) C) Funkcja ƒ jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0, 1 ⁄ 3 ) D) Funkcja ƒ jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P = (0, -1)

Wykresem funkcji kwadratowej ƒ(x) = x 2 – 6x – 3 jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A) (-6,-3) B) (-6,69) C) (3,-12) D) (6,-3)

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej ƒ(x) = ax + b , a punkt M = (3,–2) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy A) 1 B) 3 ⁄ 2 C) – 3 ⁄ 2 D) –1

Dany jest ciąg ( a n ) określony wzorem

dla n ≥ 1 . Ciąg ten jest A) arytmetyczny i jego różnica jest równa r = – 1 ⁄ 3 B) arytmetyczny i jego różnica jest równa r = –2 C) geometryczny i jego iloraz jest równy q = – 1 ⁄ 3 D) geometryczny i jego iloraz jest równy q = 5 ⁄ 6

Dla ciągu arytmetycznego (a n ), określonego dla n ≥ 1 , jest spełniony warunek a 4 + a 5 + a 6 = 12 . Wtedy A) a 5 = 4 B) a 5 = 3 C) a 5 = 6 D) a 5 = 5

Dany jest ciąg geometryczny (a n ), określony dla n ≥ 1 , w którym a 1 = √ 2 , a 2 = 2√ 2 , a 3 = 4√ 2 . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać A)

Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek).

Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek A) 27° B) 24° C) 21° D) 18°

Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√ 5 , 3√ 5 , 4√ 5 . Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A) 10, 15, 20 B) 20, 45, 80 C) √ 2 , √ 3 , √ 4 D) √ 5 , 2√ 5 , 3√ 5

Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111° . Wynika stąd, że

A) α=74° B) α=76° C) α=70° D) α=72°

Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a , |MN| = b , a > b . Kąt KLM ma miarę 60° . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa

A) a − b B) 2(a − b) C) a + 1 ⁄ 2 b D) a+b ⁄ 2

Punkt K = (2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM| = |LM| . Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N = (4,3) . Zatem A) L = (5,3) B) L = (6,4) C) L = (3,5) D) L = (4,6)

Proste o równaniach y = (m + 2)x + 3 oraz y = (2m – 1)x – 3 są równoległe, gdy A) m=2 B) m=3 C) m=0 D) m=1

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek).

Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A) α=45° B) 45° C) α>60° D) α=60°

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa A) 5 B) 3√ 2 C) 5√ 2 D) 5√ 3 ⁄ 3

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa A) 5 ⁄ 3 πr 3 B) 4 ⁄ 3 πr 3 C) 2 ⁄ 3 πr 3 D) 1 ⁄ 3 πr 3

jest 2 m liczb ( m ≥ 1) , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe A) 2 B) 1 C) 1 ⁄ √ 2 D) √ 2

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5? A) 402 B) 403 C) 203 D) 204

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe A) 15 ⁄ 35 B) 1 ⁄ 50 C) 15 ⁄ 50 D) 35 ⁄ 50

Rozwiąż nierówność 2x 2 − 3x > 5 .

Rozwiąż równanie (x 3 + 125)(x 2 − 64) = 0 .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √ 2 –1.

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem ƒ(x)=a x (gdzie a>0 i a≠1), należy punkt P=(2,9) . Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g , określonej wzorem g (x)=ƒ(x)−2 .

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a n ), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3 . Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

Dane są dwa zbiory: A = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B = {10,11, 12, 13,14,15, 16}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√ 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.