Arkusz — maj 2022

Liczba

jest równa A) 2 B) 1 C) 26 D) 14

Dodatnie liczby x i y spełniają warunek 2x = 3y. Wynika stąd, że wartość wyrażenia

jest równa A) 2 ⁄ 3 B) 13 ⁄ 6 C) 6 ⁄ 13 D) 3 ⁄ 2

Liczba 4 log 4 2 + 2 log 4 8 jest równa A) 6 log 4 10 B) 16 C) 5 D) 6 log 4 16

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa A) 98 732 zł B) 97 200 zł C) 95 266 zł D) 94 478 zł

Liczba

jest równa A)

B)

C)

D)

Rozwiązaniem układu równań

jest para liczb: x = x 0 , y = y 0 . Wtedy A) x 0 > 0 i y 0 > 0 B) x 0 > 0 i y 0 C) x 0 0 > 0 D) x 0 0

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

jest przedział A) (−∞, 0) B) (0, +∞) C) (−∞, 3 ⁄ 4 ) D) ( 3 ⁄ 4 ,+∞)

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2x(x 2 − 9)(x + 1) = 0 jest równy A) (−3) B) 3 C) 0 D) 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ƒ.

Iloczyn ƒ(−3) ⋅ ƒ(0) ⋅ ƒ(4) jest równy A) (−12) B) (−8) C) 0 D) 16

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji ƒ określonej na zbiorze 〈−4, 5〉. Rysunek 1.

Funkcję g określono za pomocą funkcji ƒ. Wykres funkcji g przedstawiono na rysunku 2. Rysunek 2.

Wynika stąd, że A) g (x) = ƒ(x) − 2 B) g (x) = ƒ(x − 2) C) g (x) = ƒ(x) + 2 D) g (x) = ƒ(x + 2)

Miejscem zerowym funkcji liniowej ƒ określonej wzorem

jest liczba A) (−3) B) 9 ⁄ 2 C) 5 D) 12

Wykresem funkcji kwadratowej ƒ(x) = 3x 2 + bx + c jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (−3, 2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to A) ƒ(x) = 3(x − 3) 2 + 2 B) ƒ(x) = 3(x + 3) 2 + 2 C) ƒ(x) = (x − 3) 2 + 2 D) ƒ(x) = (x + 3) 2 + 2

Ciąg ( a n ) jest określony wzorem

dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wtedy a 7 jest równy A) (−196) B) (−32) C) (−26) D) (−16)

W ciągu arytmetycznym ( a n ), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, a 5 = −31 oraz a 10 = −66. Różnica tego ciągu jest równa A) (−7) B) (−19,4) C) 7 D) 19,4

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (a n ), określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, są dodatnie i 9a 5 = 4a 3 . Wtedy iloraz tego ciągu jest równy A) 2 ⁄ 3 B) 3 ⁄ 2 C) 2 ⁄ 9 D) 9 ⁄ 2

Liczba cos 12° ⋅ sin 78° + sin 12° ⋅ cos 78° jest równa A) ½ B) √ 2 ⁄ 2 C) √ 3 ⁄ 2 D) 1

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek).

Wtedy kąt ABD ma miarę A) α ⁄ 2 + γ − 180° B) 180° − α ⁄ 2 − γ C) 180° − α − γ D) α + γ − 180°

Punkty A, B, P leżą na okręgu o środku S i promieniu 6. Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS ma miarę 60° (zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe A) 6π B) 9π C) 10π D) 12π

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 6√ 3 . Pole tego trójkąta jest równe A) 3√ 3 B) 4√ 3 C) 27√ 3 D) 36√ 3

Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe A) 30√ 3 B) 30 C) 60√ 3 D) 60

Punkty A = (−2,6) oraz B = (3,b) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy b jest równe A) 9 B) (−9) C) (−4) D) 4

Dane są cztery proste k,l,m,n o równaniach: k : y = −x + 1 l : y = 2 ⁄ 3 x + 1 m : y = − 3 ⁄ 2 x + 4 n : y = − 2 ⁄ 3 x – 1 Wśród tych prostych prostopadłe są A) proste k oraz l. B) proste k oraz n. C) proste l oraz m. D) proste m oraz n.

Punkty K = (4,−10) i L = (b,2) są końcami odcinka KL. Pierwsza współrzędna środka odcinka KL jest równa (−12). Wynika stąd, że A) b = −28 B) b = −14 C) b = −24 D) b = −10

Punkty A = (−4,4) i B = (4,0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość A) 4√ 10 B) 4√ 2 C) 4√ 5 D) 4√ 7

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa A) 560 cm 3 B) 280 cm 3 C) 280 ⁄ 3 cm 3 D) 560 ⁄ 3 cm 3

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a. Punkty E,F,G,B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe A)

B)

C)

D)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest A) 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 2 B) 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 1 C) 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 2 D) 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 1

Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: 2x,4,6,8,11,13, jest równa 5. Wynika stąd, że A) x = −1 B) x = 7 C) x = −6 D) x = 6 Uwagi ogólne do zadań otwartych 1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. 2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej x − 1) punktów (gdzie x jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

Rozwiąż nierówność: 3x 2 − 2x − 9 ≥ 7

W ciągu arytmetycznym (a n ), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, a 1 = −1 i a 4 = 8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b ≠ a, spełniona jest nierówność

Kąt α jest ostry i tg α = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin 2 α.

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.

Ze zbioru dziewięcioelementowego M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Wykres funkcji kwadratowej ƒ określonej wzorem ƒ(x) = ax 2 + bx + c ma z prostą o równaniu y = 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A = (−5,0) i B = (3,0) należą do wykresu funkcji ƒ. Oblicz wartości współczynników a, b oraz c. <ul class="