Arkusz — marzec 2023 · Szybka Matematyka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 6 100 + 6 100 + 6 100 + 6 100 + 6 100 + 6 100 jest równa A) 6 600 B) 6 101 C) 36 100 D) 36 600 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia log 7 98 − log 7 2 jest równa A) 7 B) 2 C) 1 D) (−1) 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra 2, jest A) 900 B) 729 C) 648 D) 512 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej a wartość wyrażenia (3 + 4a) 2 − (3 − 4a) 2 jest równa A) 32a 2 B) 0 C) 48a D) 8a 2 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe. Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ A)

2 pkt – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi. 1 pkt – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: B albo E. 0 pkt – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 + 𝑘𝑥 2 − 12𝑥 − 7𝑘 + 12 gdzie 𝑘 jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba (−2) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 𝑘 jest równa A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie

ma w zbiorze liczb rzeczywistych A) dokładnie jedno rozwiązanie: 𝑥 = 2. B) dokładnie dwa rozwiązania: 𝑥 = 1,5, 𝑥 = 2. C) dokładnie trzy rozwiązania: 𝑥 = −6, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2. D) dokładnie cztery rozwiązania: 𝑥 = −6, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1,5, 𝑥 = 2. 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność: |x+1| ≤ 2 A)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba n 2 + 2023 jest podzielna przez 8.

Dana jest funkcja kwadratowa 𝑓, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zadanie 10.1. Funkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥−2). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wykres funkcji 𝑔 przedstawiono na rysunku A)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie 10.2. Wyznacz i zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności: 𝒇(𝒙) ≤ 𝟎 ......................... 1 pkt – rozwiązanie poprawne. 0 pkt – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania. Zadanie 10.3. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇 w postaci kanonicznej.

Dana jest funkcja liniowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji 𝑓 przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) na rysunku obok.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynniki 𝑎 i 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki A) 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0. B) 𝑎 > 0 i 𝑏 C) 𝑎 0. D) 𝑎 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny 𝑃 swojego produktu na liczbę 𝑄 kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o 1 jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o 3 jednostki. Ponadto przy cenie równej 5 jednostek liczba kupujących jest równa 12 jednostek. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór A) 𝑄= −0,9𝑃 2 + 6,9 B) 𝑄= −3𝑃+27 C) 𝑃= −0,9𝑄 2 + 6,9 D) 𝑃= −3𝑄+27 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Czas 𝑇 półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa 𝑚 leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

gdzie: 𝑚 0 – masa przyjętej dawki leku, 𝑇 – czas półtrwania leku, 𝑡 – czas liczony od momentu przyjęcia dawki. W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie. Pacjent otrzymuje co 4 dni o tej samej godzinie dawkę 𝑚 0 = 100 mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy 𝑇 = 4 doby. Zadanie 13.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wykres zależności masy 𝑀 leku L w organizmie tego pacjenta od czasu 𝑡, liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku A)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie 13.2. Oblicz masę leku L w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do 𝟎,𝟏 mg.

Klient wpłacił do banku 20 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 3% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po 2 latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A) 20 000∙(1,12) 2 B) 20 000∙2⋅1,03 C) 20 000∙1,06 D) 20 000∙(1,03) 2 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dany jest ciąg (𝑎 𝑛 ) określony wzorem 𝑎 𝑛 = −3𝑛 + 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Liczby 2, (−1), (−4) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu (𝑎 𝑛 ). A) prawda B) fałsz (𝑎 𝑛 ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 5. A) prawda B) fałsz 1 pkt – obie odpowiedzi poprawne. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 10. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Cosinus kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy (−0,65). A) prawda B) fałsz Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest rozwartokątny. A) prawda B) fałsz 1 pkt – obie odpowiedzi poprawne. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dany jest okrąg o środku 𝑆 = (2,−5 ) i promieniu 𝑟 = 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie tego okręgu ma postać A) (𝑥−2) 2 + (𝑦+5) 2 = 9 B) (𝑥+2) 2 + (𝑦−5) 2 = 3 C) (𝑥−2) 2 + (𝑦+5) 2 = 3 D) (𝑥+2) 2 + (𝑦−3) 2 = 9 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Odcinki 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 przecinają się w punkcie 𝑂. W trójkątach 𝐴𝐵𝑂 i 𝑂𝐷𝐶 zachodzą związki: |𝐴𝑂| = 5, |𝐵𝑂| = 3, |𝑂𝐶| = 10, |∡𝑂𝐴𝐵| = |∡𝑂𝐶𝐷| (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku 𝑶𝑫 trójkąta 𝑶𝑫𝑪.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = −3𝑥 + 1. Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H. Zadanie 19.1. Jedną z prostych równoległych do prostej 𝑘 jest prosta o równaniu A) 𝑦 = 3𝑥 + 2 B) 𝑦 = −3𝑥 + 2 C) 𝑦 = 1 ⁄ 3 𝑥 + 1 D) 𝑦 = − 1 ⁄ 3 𝑥 + 1 Zadanie 19.2. Jedną z prostych prostopadłych do prostej 𝑘 jest prosta o równaniu A) 𝑦 = 1 ⁄ 3 𝑥 + 2 B) 𝑦 = − 1 ⁄ 3 𝑥 + 2 C) 𝑦 = 3𝑥 + 1 D) 𝑦 = −3𝑥 + 1 2 pkt – poprawne dokończenia dwóch zdań. 1 pkt – poprawne dokończenie jednego zdania. 0 pkt – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wierzchołki 𝐴 = (−2,1) i 𝐶 = (4,5) są końcami przekątnej tego kwadratu. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa A) 10 B) 2√ 13 C) 2√ 10 D) 8 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku w punkcie 𝑂 i promieniu 𝑟 = 8 (zobacz rysunek). Cięciwa 𝐴𝐶 ma długość 8√ 3 .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa A) 30° B) 45° C) 15° D) 60° 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Kąt 𝛼 jest ostry oraz 4tg𝛼 = 3sin 2 𝛼 + 3cos 2 𝛼. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta 𝛼 jest równy A) 3 ⁄ 4 B) 4 ⁄ 3 C) 14 D) 4 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dane są dwa trójkąty podobne 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 o polach równych – odpowiednio – 𝑃 oraz 2𝑃. Obwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 𝑥. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Obwód trójkąta KLM jest równy: A) √ 2 ⋅ x B) 2x ponieważ stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy A) 1. kwadratowi stosunku pól tych trójkątów. B) 2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku pól tych trójkątów. C) 3. stosunkowi pól tych trójkątów. 1 pkt – obie odpowiedzi poprawne. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Punkty 𝐴 oraz 𝐵 leżą na okręgu o środku 𝑂. Proste 𝑘 i 𝑙 są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – 𝐴 i 𝐵. Te proste przecinają się w punkcie 𝑆 i tworzą kąt o mierze 76° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta 𝑂𝐵𝐴 jest równa A) 52° B) 26° C) 14° D) 38° 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym bok 𝐵𝐶 odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna 𝐴𝐶 tego prostokąta ma długość 16 i tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa A) 8 B) 8√ 3 C) 2√ 3 D) 2 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶. Punkty 𝐷, 𝐸 i 𝐹 są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych 𝐴𝑆, 𝐵𝑆 i 𝐶𝑆 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Stosunek objętości ostrosłupa 𝐷𝐸𝐹𝑆 do objętości ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝑆 jest równy A) 3∶4 B) 1∶4 C) 1∶8 D) 3∶8 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 (zobacz rysunek obok).

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt 𝜶 pomiędzy ścianą boczną 𝑨𝑪𝑭𝑫 i przekątną 𝑨𝑬 ściany bocznej 𝑨𝑩𝑬𝑫 tego graniastosłupa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od 1000 do 9999. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej 3, jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°. Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości 𝒙 boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

W pewnej grupie 100 uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

Zadanie 30.1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa 2,25 godziny. A) prawda B) fałsz Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż 2,5 godziny. A) prawda B) fałsz 1 pkt – obie odpowiedzi poprawne. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi Zadanie 30.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa A) 2,25 godziny. B) 2,50 godziny. C) 2,75 godziny. D) 1,50 godziny. 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi. <ul class="