Arkusz — maj 2024

Dana jest nierówność |𝑥 − 1|≥ 3 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A)

B)

C)

D)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba ( 1 ⁄ 16 ) 8 ⋅ 8 16 jest równa A) 2 24 B) 2 16 C) 2 12 D) 2 8

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 ≥ 𝟏 liczba 𝒏 𝟐 + (𝒏 + 𝟏) 𝟐 + (𝒏 + 𝟐) 𝟐 przy dzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba log √ 3 9 jest równa A) 2 B) 3 C) 4 D) 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia (2𝑎 + 𝑏) 2 − (2𝑎 − 𝑏) 2 jest równa wartości wyrażenia A) 8𝑎 2 B) 8𝑎𝑏 C) −8𝑎𝑏 D) 2𝑏 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 − 3 ⁄ 2 𝑥 2 ⁄ 3 − 𝑥 jest przedział A) (−∞ , − 2 ⁄ 3 ) B) (−∞ , 2 ⁄ 3 ) C) (− 2 ⁄ 3 , +∞) D) ( 2 ⁄ 3 , +∞)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 𝑥+1 ⁄ (𝑥+2)(𝑥−3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych A) nie ma rozwiązania. B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1). C) ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2) oraz 3. D) ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1), (−2) oraz 3.

Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥 3 + 6𝑥 2 + 9𝑥. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wielomian 𝑊 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = 3𝑥 i 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3. A) prawda B) fałsz Liczba (−1) jest rozwiązaniem równania 𝑊(𝑥) = 0. A) prawda B) fałsz

Rozwiąż równanie 𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔 = 𝟎 Zapisz obliczenia.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A)

B)

C)

D)

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A)

B)

C)

D)

Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (−2𝑘 + 3)𝑥 + 𝑘 − 1, gdzie 𝑘 ∈ ℝ. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału A) (−∞,1) B) (−∞,− 3 ⁄ 2 ) C) (1,+∞) D) ( 3 ⁄ 2 ,+∞)

Funkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 7, mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔 jest równy A) (− 7 ⁄ 2 ) B) (− 2 ⁄ 7 ) C) 2 ⁄ 7 D) 7 ⁄ 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Ciąg (𝑎 𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 ⋅ (𝑛 − 5) dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Pierwszy wyraz ciągu (𝑎 𝑛 ) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. A) prawda B) fałsz Wszystkie wyrazy ciągu (𝑎 𝑛 ) są dodatnie. A) prawda B) fałsz

Trzywyrazowy ciąg (12, 6 ,2𝑚 − 1) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz poprawne odpowiedzi. Ten ciąg jest A) rosnący B) malejący oraz A) 1. m = 1 ⁄ 2 B) 2. m = 2 C) 3. m = 3

Ciąg arytmetyczny (𝑎 𝑛 ) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (−1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (−165). Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼 = −3 oraz 90°

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F. Prawdziwe są zależności: .............. oraz .............. . A) sin𝛼 B) sin𝛼 ⋅ cos𝛼 C) sin𝛼 ⋅ cos𝛼 > 0 D) cos𝛼 > 0 E) sin𝛼 = − 1 ⁄ 3 cos𝛼 F) sin𝛼 = −3cos𝛼

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba sin 3 20° + cos 2 20°⋅sin20° jest równa A) cos20° B) sin20° C) tg20° D) sin20°⋅cos20°

Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀|=𝑎, |𝐿𝑀|=𝑏 oraz 𝑎≠𝑏. Dwusieczna kąta 𝐾𝑀𝐿 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 takim, że |𝐾𝑁|=𝑐, |𝑁𝐿|=𝑑 oraz |𝑀𝑁|=𝑒 (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie 𝐾𝐿𝑀 prawdziwa jest równość A) 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑐 ⋅ 𝑑 B) 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐 C) 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑏 ⋅ 𝑑 D) 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑒 ⋅ 𝑒

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A) 12 B) 12√ 3 C) 6 D) 6√ 3

W trójkącie 𝐴𝐵𝐶, wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego 𝐵𝐴𝑆 jest równa A) 42° B) 45° C) 48° D) 69°

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami 𝑘: 𝑦 = (𝑚 +1)𝑥 + 7 𝑙: 𝑦 = −2𝑥 + 7 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są prostopadłe, gdy liczba 𝑚 jest równa A) (− 1 ⁄ 2 ) B) 1 ⁄ 2 C) (−3) D) 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴 = (−2 , 6) oraz 𝐵 = (10 , 2). Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają się w punkcie 𝑃 = (6 , 7). Oblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√ 3 .

Ostrosłup 𝐹 1 jest podobny do ostrosłupa 𝐹 2 . Objętość ostrosłupa 𝐹 1 jest równa 64. Objętość ostrosłupa 𝐹 2 jest równa 512. Uzupełnij poniższe zdanie. Podaj odpowiednią liczbę tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹 2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹 1 jest równy ………. .

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A) 4 B) 10 C) 24 D) 16

Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, jest równa A) 9 B) 6 C) 4,5 D) 18

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A) 4,5 B) 4 C) 3,5 D) 3

Dany jest pięcioelementowy zbiór 𝐾 = {5,6,7,8,9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru 𝐾 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę.

Oblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia. <ul class="