Proporcjonalność prosta

Proporcjonalność prosta pojawia się na egzaminie ósmoklasisty regularnie, często w zadaniach otwartych, wymagających obliczeń i uzasadnienia. Można ją spotkać zarówno w zadaniach obliczeniowych, jak i tekstowych, często powiązanych z kontekstem praktycznym (np. ceny, prędkość, przepisy kulinarne). Rozumienie tej zależności i umiejętność operowania jej wzorem jest kluczowa do zdobycia nawet kilku punktów na egzaminie.

W tej lekcji poznasz:

Definicję proporcjonalności prostej i jej charakterystyczne cechy.
Wzór opisujący proporcjonalność prostą: $y = ax$ .
Znaczenie współczynnika proporcjonalności $a$ .
Sposoby identyfikacji proporcjonalności prostej na podstawie tabeli, wykresu i opisu słownego.
Metody rozwiązywania zadań z wykorzystaniem proporcjonalności prostej.
Zastosowania proporcjonalności prostej w zadaniach praktycznych.
Rozwiązywanie zadań typu egzaminacyjnego z tym zagadnieniem.

Proporcjonalność prosta: Mówimy, że wielkość $y$ jest wprost proporcjonalna do wielkości $x$ , jeśli ich stosunek jest stały i różny od zera. Oznacza to, że gdy $x$ rośnie, $y$ rośnie w tym samym tempie, a gdy $x$ maleje, $y$ maleje proporcjonalnie.
Wzór: Zależność tę opisuje wzór: $y = ax$ $y = a x$ gdzie:
- $y$ jest wielkością zależną.
- $x$ jest wielkością niezależną.
- $a$ jest współczynnikiem proporcjonalności (stała, różna od zera).
Współczynnik proporcjonalności $a$ : Można go wyznaczyć ze wzoru $a = \frac{y}{x}$ $a = \frac{y}{x}$ (dla $x \neq 0$ $x \neq = 0$ ). Określa on, ile razy $y$ $y$ jest większe od $x$ $x$ , lub jak bardzo $y$ $y$ zmienia się przy jednostkowej zmianie $x$ $x$ .
- Jeśli $a > 0$ , wielkości $x$ i $y$ rosną i maleją w tym samym kierunku.
- Jeśli $a < 0$ , wielkości $x$ i $y$ zmieniają się w przeciwnych kierunkach (gdy $x$ rośnie, $y$ maleje i odwrotnie).
Wykres proporcjonalności prostej: Wykresem zależności $y = ax$ $y = a x$ jest linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (punkt (0,0)). Kierunek prostej zależy od znaku współczynnika $a$ $a$ :
- Dla $a > 0$ prosta jest rosnąca (wznosi się od lewej do prawej).
- Dla $a < 0$ prosta jest malejąca (opada od lewej do prawej).
Charakterystyka tabeli: W tabeli wielkości opisującej proporcjonalność prostą, stosunek odpowiednich wartości $y$ do $x$ jest stały. $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \dots = a$ .

Cena 5 kg jabłek wynosi 15 zł. Ile będą kosztować 3 kg tych samych jabłek?

Krok 1. Zidentyfikuj wielkości i zależność. Wielkością niezależną jest masa jabłek ( $x$ ), a zależną jest ich cena ( $y$ ). Ponieważ cena za kilogram jest stała, cena jest wprost proporcjonalna do masy.

Krok 2. Zapisz wzór proporcjonalności. $y = ax$ , gdzie $x$ to masa (w kg), a $y$ to cena (w zł).

Krok 3. Oblicz współczynnik proporcjonalności $a$ . Wiemy, że dla $x=5$ kg, $y=15$ zł. Podstawiamy do wzoru: $15 = a \cdot 5$ Dzielimy obie strony przez 5: $a = \frac{15}{5} = 3$ Współczynnik proporcjonalności $a=3$ . Oznacza to, że 1 kg jabłek kosztuje 3 zł.

Krok 4. Zapisz wzór dla konkretnego przypadku. Wzór opisujący cenę jabłek w zależności od ich masy to: $y = 3x$ .

Krok 5. Oblicz cenę dla zadanej masy. Chcemy obliczyć cenę dla $x=3$ kg. Podstawiamy do wzoru: $y = 3 \cdot 3 = 9$ Cena 3 kg jabłek wynosi 9 zł.

Sprawdzenie: Cena za kg wynosi $15 \text{ zł} / 5 \text{ kg} = 3 \text{ zł/kg}$ . Cena za 3 kg to $3 \text{ kg} \cdot 3 \text{ zł/kg} = 9 \text{ zł}$ . Wynik jest poprawny.

Tabela przedstawia zależność między liczbą godzin pracy a ilością wyprodukowanych detali. Sprawdź, czy zależność ta jest proporcjonalnością prostą. Jeśli tak, wyznacz wzór tej zależności i oblicz, ile detali zostanie wyprodukowanych w ciągu 8 godzin pracy.

| Liczba godzin pracy ( $x$ ) | Liczba wyprodukowanych detali ( $y$ ) | | :----------------------- | :-------------------------------- | | 2 | 40 | | 3 | 60 | | 5 | 100 |

Krok 1. Sprawdź stałość stosunku $\frac{y}{x}$ . Obliczamy stosunek $y$ do $x$ dla każdej pary danych: Dla pierwszej pary: $\frac{40}{2} = 20$ Dla drugiej pary: $\frac{60}{3} = 20$ Dla trzeciej pary: $\frac{100}{5} = 20$ Stosunek $\frac{y}{x}$ jest stały i wynosi 20.

Krok 2. Zidentyfikuj rodzaj proporcjonalności i współczynnik. Ponieważ stosunek $\frac{y}{x}$ jest stały i różny od zera, zależność jest proporcjonalnością prostą. Współczynnik proporcjonalności $a = 20$ .

Krok 3. Zapisz wzór zależności. Wzór opisujący tę zależność to $y = ax$ , czyli: $y = 20x$ gdzie $x$ to liczba godzin pracy, a $y$ to liczba wyprodukowanych detali.

Krok 4. Oblicz liczbę detali dla 8 godzin pracy. Szukamy wartości $y$ , gdy $x=8$ godzin. Podstawiamy do wzoru: $y = 20 \cdot 8 = 160$

Odpowiedź: Zależność jest proporcjonalnością prostą. Wzór to $y=20x$ . W ciągu 8 godzin pracy zostanie wyprodukowanych 160 detali.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu zależności $y = ax$ . Określ znak współczynnika $a$ oraz oblicz jego wartość.

      ^ y
      |
      |    . (x, y)
      |   /
      |  /
------+------------> x
     /|
    / |
   /  |
  /   |

(Uwaga: Rysunek przedstawia prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i znajdującą się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Punkt (x, y) zaznaczony jest w pierwszej ćwiartce, gdzie zarówno x, jak i y są dodatnie.)

Krok 1. Analiza wykresu. Wykres jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych (0,0). To potwierdza, że jest to proporcjonalność prosta. Wykres znajduje się w I i III ćwiartce.

Krok 2. Określenie znaku współczynnika $a$ . Ponieważ wykres jest wznoszący się (od lewej do prawej), oznacza to, że dla dodatnich wartości $x$ wartości $y$ są również dodatnie. Na przykład, punkt zaznaczony w pierwszej ćwiartce (gdzie $x>0$ i $y>0$ ) leży na tej prostej. Jeśli wybierzemy dowolny punkt na tej prostej z $x>0$ (np. zaznaczony punkt), to $y$ również jest dodatnie. Stosunek $\frac{y}{x}$ będzie dodatni. Zatem współczynnik proporcjonalności $a$ jest dodatni ( $a>0$ ).

Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika $a$ . Aby dokładnie obliczyć $a$ , potrzebowalibyśmy współrzędnych konkretnego punktu (innego niż (0,0)) leżącego na tej prostej. Ponieważ w zadaniu nie podano konkretnych wartości, zakładamy, że wykres przechodzi przez punkt (np.) $(2, 4)$ , co można wywnioskować z rysunku lub jest to typowe założenie w tego typu zadaniach bez konkretnych danych. Jeżeli punkt $(2, 4)$ leży na prostej, to dla $x=2$ mamy $y=4$ . Podstawiamy do wzoru $y = ax$ : $4 = a \cdot 2$ Dzielimy przez 2: $a = \frac{4}{2} = 2$

Odpowiedź: Współczynnik $a$ jest dodatni ( $a > 0$ ). Jego wartość wynosi 2 (przy założeniu, że wykres przechodzi przez punkt (2,4)).

Mylenie proporcjonalności prostej z odwrotną: W proporcjonalności odwrotnej iloczyn $x \cdot y = const$ . W prostej stosunek $\frac{y}{x} = const$ . Zawsze sprawdzaj, jaka zależność jest opisana.
Brak przejścia przez początek układu współrzędnych: Wykres proporcjonalności prostej zawsze przechodzi przez punkt (0,0). Jeśli linia jest prosta, ale nie przechodzi przez początek, nie jest to proporcjonalność prosta (może to być funkcja liniowa $y=ax+b$ dla $b \neq 0$ ).
Dzielenie przez zero: Wzór $a = \frac{y}{x}$ można stosować tylko wtedy, gdy $x \neq 0$ . Wartość $x=0$ zawsze odpowiada $y=0$ w proporcjonalności prostej.
Niepoprawne obliczenie współczynnika $a$ : Upewnij się, że zawsze obliczasz stosunek $y$ do $x$ ( $a = \frac{y}{x}$ ), a nie $x$ do $y$ ( $a = \frac{x}{y}$ ), chyba że wzór funkcji jest zapisany jako $x = ay$ . W standardowej postaci $y=ax$ , to $a = \frac{y}{x}$ .
Błąd w interpretacji kontekstu zadania: Czasem wielkości mogą wydawać się proporcjonalne, ale kontekst zadania temu przeczy. Np. cena biletu plus stała opłata za wstęp nie jest proporcjonalnością prostą. Zawsze analizuj tekst zadania pod kątem stałości współczynnika.

Sprawdź, czy wielkość $y$ jest wprost proporcjonalna do wielkości $x$ w poniższych przypadkach: a) $x=2, y=6$ ; $x=4, y=12$ ; $x=-1, y=-3$ b) $x=1, y=5$ ; $x=2, y=10$ ; $x=3, y=12$ c) $x=3, y=9$ ; $x=5, y=15$ ; $x=-2, y=-6$
Cena 4 zeszytów wynosi 12 zł. Ile zapłacimy za 7 takich zeszytów?
Funkcja $f(x) = ax$ opisuje pewną proporcjonalność prostą. Wiadomo, że $f(3) = -9$ . a) Oblicz współczynnik proporcjonalności $a$ . b) Napisz wzór tej funkcji. c) Oblicz $f(-5)$ .
Tabela przedstawia zależność drogi ( $s$ ) od czasu ( $t$ ) dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Czy jest to proporcjonalność prosta? Jeśli tak, podaj wzór i oblicz drogę przebytą w ciągu 10 sekund.

| Czas ( $t$ ) [s] | Droga ( $s$ ) [m] | | :----------- | :------------ | | 2 | 10 | | 5 | 25 | | 8 | 40 |
Na wykresie przedstawiono zależność $y=ax$ . Prosta przechodzi przez punkt $(-2, 6)$ . a) Określ znak współczynnika $a$ . b) Oblicz wartość $a$ . c) Podaj wzór tej funkcji.
Piotr maluje płot. W ciągu 3 godzin pomalował 18 metrów bieżących płotu. Ile metrów pomaluje w ciągu 5 godzin, zakładając, że pracuje w tym samym tempie?
Funkcja $y=ax$ opisuje zależność pewnych wielkości. Zapisz, jak zmieni się wartość $y$ , gdy wartość $x$ : a) wzrośnie 2 razy. b) zmaleje 3 razy. c) wzrośnie o 50%.

a) Tak, $a=3$ . b) Nie, stosunki są różne ( $5, 5, 4$ ). c) Tak, $a=3$ .
Cena za 1 zeszyt: $12 \text{ zł} / 4 = 3 \text{ zł}$ . Cena za 7 zeszytów: $7 \cdot 3 \text{ zł} = 21 \text{ zł}$ .
a) $a = \frac{-9}{3} = -3$ . b) $f(x) = -3x$ . c) $f(-5) = -3 \cdot (-5) = 15$ .
Tak, jest to proporcjonalność prosta. Stosunek $\frac{s}{t} = \frac{10}{2} = \frac{25}{5} = \frac{40}{8} = 5$ . Wzór: $s = 5t$ . Droga w ciągu 10 sekund: $s = 5 \cdot 10 = 50$ m.
a) Współczynnik $a$ jest ujemny ( $a < 0$ ), ponieważ prosta jest malejąca (przechodzi przez II i IV ćwiartkę, a punkt $(-2, 6)$ jest w II ćwiartce). b) $6 = a \cdot (-2) \implies a = \frac{6}{-2} = -3$ . c) $y = -3x$ .
Tempo malowania: $18 \text{ m} / 3 \text{ h} = 6 \text{ m/h}$ . W ciągu 5 godzin: $5 \text{ h} \cdot 6 \text{ m/h} = 30 \text{ m}$ .
a) $y$ wzrośnie 2 razy (bo $y = a \cdot (2x) = 2(ax)$ ). b) $y$ zmaleje 3 razy (bo $y = a \cdot (\frac{x}{3}) = \frac{1}{3}(ax)$ ). c) $y$ wzrośnie o 50% (czyli będzie stanowić 150% pierwotnej wartości). $x_{nowe} = 1.5x$ . $y_{nowe} = a \cdot (1.5x) = 1.5 (ax) = 1.5y$ .

Jaki jest podstawowy wzór na proporcjonalność prostą?
Co oznacza współczynnik proporcjonalności $a$ ?
Przez jaki punkt na układzie współrzędnych zawsze przechodzi wykres proporcjonalności prostej?
Jeśli cena 1 kg produktu wynosi 5 zł, to ile kosztuje 3 kg? Czy jest to proporcjonalność prosta?
Jak zmieni się wielkość $y$ , gdy $x$ zwiększy się dwukrotnie w zależności $y=ax$ ?

      ^ y
      |      /
      |     /
      |    / a > 0 (rosnąca)
      |   /
      |  /
------+------------> x
     /|
    / |
   /  | a < 0 (malejąca)
  /   |
 /    |

W tej lekcji poznasz:

Definicję proporcjonalności prostej i jej charakterystyczne cechy.
Wzór opisujący proporcjonalność prostą: $y = ax$ .
Znaczenie współczynnika proporcjonalności $a$ .
Sposoby identyfikacji proporcjonalności prostej na podstawie tabeli, wykresu i opisu słownego.
Metody rozwiązywania zadań z wykorzystaniem proporcjonalności prostej.
Zastosowania proporcjonalności prostej w zadaniach praktycznych.
Rozwiązywanie zadań typu egzaminacyjnego z tym zagadnieniem.

Proporcjonalność prosta: Mówimy, że wielkość $y$ jest wprost proporcjonalna do wielkości $x$ , jeśli ich stosunek jest stały i różny od zera. Oznacza to, że gdy $x$ rośnie, $y$ rośnie w tym samym tempie, a gdy $x$ maleje, $y$ maleje proporcjonalnie.
Wzór: Zależność tę opisuje wzór: $y = ax$ $y = a x$ gdzie:
- $y$ jest wielkością zależną.
- $x$ jest wielkością niezależną.
- $a$ jest współczynnikiem proporcjonalności (stała, różna od zera).
Współczynnik proporcjonalności $a$ : Można go wyznaczyć ze wzoru $a = \frac{y}{x}$ $a = \frac{y}{x}$ (dla $x \neq 0$ $x \neq = 0$ ). Określa on, ile razy $y$ $y$ jest większe od $x$ $x$ , lub jak bardzo $y$ $y$ zmienia się przy jednostkowej zmianie $x$ $x$ .
- Jeśli $a > 0$ , wielkości $x$ i $y$ rosną i maleją w tym samym kierunku.
- Jeśli $a < 0$ , wielkości $x$ i $y$ zmieniają się w przeciwnych kierunkach (gdy $x$ rośnie, $y$ maleje i odwrotnie).
Wykres proporcjonalności prostej: Wykresem zależności $y = ax$ $y = a x$ jest linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (punkt (0,0)). Kierunek prostej zależy od znaku współczynnika $a$ $a$ :
- Dla $a > 0$ prosta jest rosnąca (wznosi się od lewej do prawej).
- Dla $a < 0$ prosta jest malejąca (opada od lewej do prawej).
Charakterystyka tabeli: W tabeli wielkości opisującej proporcjonalność prostą, stosunek odpowiednich wartości $y$ do $x$ jest stały. $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = \dots = a$ .