Odczyt wykresu

Zadania polegające na odczycie wartości funkcji z wykresu lub interpretacji cech funkcji na podstawie jej wykresu pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty regularnie, zazwyczaj w zestawie zadań otwartych lub zamkniętych. Przeważnie są to zadania dające 1–2 punkty, ale ich prawidłowe rozwiązanie jest kluczowe dla osiągnięcia dobrego wyniku. CKE często sprawdza umiejętność rozumienia pojęć takich jak: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności (rosnąca/malejąca), wartości maksymalne i minimalne.

1. Zrozumienie czym jest wykres funkcji.
2. Odczytywanie wartości funkcji dla danego argumentu ($f(x)$ gdy znamy $x$).
3. Odczytywanie argumentu dla danej wartości funkcji ($x$ gdy znamy $f(x)$).
4. Określanie dziedziny funkcji na podstawie wykresu.
5. Określanie zbioru wartości funkcji na podstawie wykresu.
6. Znajdowanie miejsc zerowych funkcji na podstawie wykresu.
7. Określanie przedziałów monotoniczności (rosnąca, malejąca, stała) na podstawie wykresu.
8. Znajdowanie wartości maksymalnej i minimalnej funkcji na podstawie wykresu (jeśli istnieją).

• Funkcja: Przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi jednego zbioru (dziedziny) przyporządkowany jest dokładnie jeden element drugiego zbioru (zbioru wartości).
• Wykres funkcji: Zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej, których współrzędne $(x, f(x))$ spełniają warunek funkcji. Oś pozioma (OX) reprezentuje argumenty ($x$), a oś pionowa (OY) reprezentuje wartości funkcji ($f(x)$ lub $y$).
• Argument ($x$): Wartość należąca do dziedziny funkcji.
• Wartość funkcji ($f(x)$ lub $y$): Wartość funkcji odpowiadająca danemu argumentowi $x$.
• Dziedzina funkcji ($D_f$): Zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów $x$, dla których funkcja jest określona. Na wykresie jest to zbiór wszystkich współrzędnych $x$ punktów należących do wykresu.
• Zbiór wartości funkcji ($ZW_f$): Zbiór wszystkich wartości $f(x)$, jakie funkcja może przyjąć. Na wykresie jest to zbiór wszystkich współrzędnych $y$ punktów należących do wykresu.
• Miejsce zerowe funkcji: Argument $x$, dla którego wartość funkcji $f(x)$ wynosi 0. Są to punkty, w których wykres funkcji przecina oś OX.
• Funkcja rosnąca: Funkcja, która dla większych argumentów przyjmuje większe wartości. Na wykresie – "idzie w górę" od lewej do prawej.
• Funkcja malejąca: Funkcja, która dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości. Na wykresie – "idzie w dół" od lewej do prawej.
• Funkcja stała: Funkcja, która dla wszystkich argumentów przyjmuje tę samą wartość. Na wykresie – linia pozioma.
• Wartość maksymalna/minimalna: Największa/najmniejsza wartość funkcji w danym przedziale lub na całej dziedzinie.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

      ^ y
      |
    4 +-------*-------
      |       |
    3 +       |
      |     / |
    2 *----/--+
      |   /   |
    1 +--/----+-------
      | /     |
--+---+---+---+---+---+---> x
 -2  -1   0   1   2   3
      |

a) Oblicz $f(1)$. b) Znajdź $x$ takie, że $f(x) = 2$. c) Podaj dziedzinę funkcji $f$. d) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. e) Znajdź miejsca zerowe funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Analiza wykresu. Obserwujemy kształt wykresu i zaznaczone punkty. Wykres składa się z odcinków prostych. Zaznaczone są kluczowe punkty, które pozwalają na dokładne odczytanie wartości.

Krok 2. Obliczenie $f(1)$ (punkt a). Szukamy na osi OX wartości $x=1$. Następnie znajdujemy punkt na wykresie, który ma tę współrzędną $x$. Prowadzimy linię pionową od $x=1$ do przecięcia z wykresem, a następnie linię poziomą do osi OY. Odczytujemy wartość na osi OY. Dla $x=1$, $f(x)=1$. Zatem $f(1) = 1$.

Krok 3. Znalezienie $x$ dla $f(x)=2$ (punkt b). Szukamy na osi OY wartości $y=2$. Następnie znajdujemy punkty na wykresie, które mają tę współrzędną $y$. Prowadzimy linię poziomą od $y=2$ do przecięcia z wykresem, a następnie linie pionowe do osi OX. Odczytujemy wartości na osi OX. Funkcja przyjmuje wartość 2 dla $x=-1$ oraz dla $x=2$. Zatem $x=-1$ lub $x=2$.

Krok 4. Określenie dziedziny (punkt c). Dziedzina to zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości $x$. Patrzymy na wykres od lewej do prawej strony osi OX i sprawdzamy, dla jakich wartości $x$ istnieje fragment wykresu. Wykres zaczyna się dla $x=-2$ i kończy dla $x=3$. Oba końce są zamalowanymi punktami (*), co oznacza, że te wartości $x$ należą do dziedziny. Dziedziną jest przedział domknięty od -2 do 3. Zapisujemy to jako $D_f = [-2, 3]$.

Krok 5. Określenie zbioru wartości (punkt d). Zbiór wartości to zbiór wszystkich wartości $y$, jakie funkcja przyjmuje. Patrzymy na wykres od dołu do góry osi OY i sprawdzamy, dla jakich wartości $y$ istnieje fragment wykresu. Najniższa wartość na osi OY, jaką przyjmuje funkcja, to 0 (w punkcie $x=0$). Najwyższa wartość na osi OY, jaką przyjmuje funkcja, to 4 (w punkcie $x=-2$). Zbiorem wartości jest przedział domknięty od 0 do 4. Zapisujemy to jako $ZW_f = [0, 4]$.

Krok 6. Znalezienie miejsc zerowych (punkt e). Miejsca zerowe to wartości $x$, dla których $f(x)=0$. Są to punkty przecięcia wykresu z osią OX. Na wykresie widzimy, że wykres przecina oś OX tylko w jednym punkcie, dla $x=0$. Zatem jedynym miejscem zerowym jest $x=0$.

Sprawdzenie: a) Podstawiając $x=1$ do wykresu, odczytujemy $y=1$. Zgadza się. b) Dla $x=-1$, $y=2$. Dla $x=2$, $y=2$. Zgadza się. c) Wykres rozciąga się od $x=-2$ do $x=3$. Zgadza się. d) Najniższa wartość $y=0$, najwyższa $y=4$. Zgadza się. e) Wykres przecina oś OX dla $x=0$. Zgadza się.

Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji $g$.

      ^ y
      |
    4 +       *
      |      /|
    3 +     / |
      |    /  |
    2 +---*---+-------
      |  /|   |
    1 + / |   |
      |/  |   |
--+---+---+---+---+---+---> x
 -3  -2  -1   0   1   2
      |
   -1 +
      |

a) Odczytaj wartość funkcji $g$ dla argumentu $x=-1$. b) Znajdź argumenty $x$, dla których $g(x)=1$. c) Podaj dziedzinę funkcji $g$. d) Podaj zbiór wartości funkcji $g$. e) W jakich przedziałach funkcja $g$ jest rosnąca? f) W jakich przedziałach funkcja $g$ jest malejąca? g) Znajdź największą wartość funkcji $g$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Analiza wykresu. Wykres składa się z dwóch odcinków prostych. Zwracamy uwagę na zaznaczone punkty kluczowe. Wykres jest określony dla $x$ od $-3$ do $2$.

Krok 2. Odczytanie $g(-1)$ (punkt a). Szukamy na osi OX wartości $x=-1$. Punkt na wykresie nad $x=-1$ ma współrzędną $y=2$. Zatem $g(-1)=2$.

Krok 3. Znalezienie $x$ dla $g(x)=1$ (punkt b). Szukamy na osi OY wartości $y=1$. Prowadzimy linię poziomą od $y=1$. Przecina ona wykres w dwóch punktach. Jedna linia pionowa prowadzi do $x=-2$, druga do $x=1$. Zatem $g(x)=1$ dla $x=-2$ lub $x=1$.

Krok 4. Określenie dziedziny (punkt c). Wykres jest narysowany dla $x$ od $-3$ do $2$. Punkt na $x=-3$ jest zamalowany (), punkt na $x=2$ jest zamalowany (). Oznacza to, że te wartości należą do dziedziny. Dziedzina to przedział domknięty. $D_g = [-3, 2]$.

Krok 5. Określenie zbioru wartości (punkt d). Najniższa wartość $y$ na wykresie to $-1$ (dla $x=0$). Najwyższa wartość $y$ na wykresie to $4$ (dla $x=2$). Zbiór wartości to przedział domknięty. $ZW_g = [-1, 4]$.

Krok 6. Określenie przedziałów monotoniczności (punkty e i f).

• Rosnąca: Szukamy odcinków, gdzie wykres "idzie w górę" od lewej do prawej. Pierwszy odcinek, od $x=-3$ do $x=-1$, idzie w górę. Drugi odcinek, od $x=-1$ do $x=2$, również idzie w górę. Funkcja $g$ jest rosnąca w przedziałach $[-3, -1]$ oraz $[-1, 2]$. Łącząc te przedziały, ponieważ funkcja jest ciągła w punkcie $x=-1$, możemy zapisać, że jest rosnąca w całym przedziale $[-3, 2]$.
• Malejąca: Nie ma odcinków, gdzie wykres "idzie w dół". Funkcja nie jest malejąca na żadnym przedziale.

Krok 7. Znalezienie wartości maksymalnej (punkt g). Największa wartość funkcji to najwyższy punkt na wykresie. Jest to punkt $(2, 4)$. Największa wartość funkcji $g$ wynosi 4.

Sprawdzenie: a) $g(-1) = 2$. Wykres potwierdza. b) Dla $x=-2$, $y=1$. Dla $x=1$, $y=1$. Wykres potwierdza. c) $D_g = [-3, 2]$. Wykres rozciąga się od -3 do 2. Wykres potwierdza. d) $ZW_g = [-1, 4]$. Najniższy punkt to (0, -1), najwyższy to (2, 4). Wykres potwierdza. e) Funkcja rośnie od lewej do prawej na całym swoim zakresie. Wykres potwierdza. f) Nie ma odcinków malejących. Wykres potwierdza. g) Najwyższy punkt to $y=4$. Wykres potwierdza.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $h$ określonej dla $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

      ^ y
      |
    2 +   *
      |  /|
    1 +--*--+-------
      | / |   |
--+---+---+---+---+---+---> x
 -3  -2  -1   0   1   2   3
      |
   -1 +   *
      |

Odczytaj z wykresu: a) Argumenty, dla których funkcja $h$ przyjmuje wartość 1. b) Wartość funkcji $h$ dla argumentu $x=-2$. c) Miejsca zerowe funkcji $h$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Analiza wykresu i dziedziny. Wykres przedstawia punkty dla konkretnych wartości całkowitych $x$ z przedziału $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. Nie jest to ciągła linia, ale zbiór izolowanych punktów.

Krok 2. Znalezienie argumentów dla $h(x)=1$ (punkt a). Szukamy na osi OY wartości $y=1$. Znajdujemy punkty na wykresie, które mają tę współrzędną $y$. Są to punkty $(-3, 1)$, $(-1, 1)$ oraz $(1, 1)$. Argumentami są zatem $x=-3$, $x=-1$ i $x=1$.

Krok 3. Odczytanie $h(-2)$ (punkt b). Szukamy na osi OX wartości $x=-2$. Znajdujemy odpowiadający mu punkt na wykresie. Jest to punkt $(-2, 2)$. Zatem $h(-2)=2$.

Krok 4. Znalezienie miejsc zerowych (punkt c). Miejsca zerowe to wartości $x$, dla których $h(x)=0$. Szukamy punktów na wykresie, których współrzędna $y$ wynosi 0. Na wykresie nie ma żadnego punktu leżącego na osi OX. Zatem funkcja $h$ nie ma miejsc zerowych.

Sprawdzenie: a) Punkty $(-3, 1), (-1, 1), (1, 1)$ leżą na wykresie i mają $y=1$. Argumenty to $-3, -1, 1$. Zgadza się. b) Punkt $(-2, 2)$ leży na wykresie. $h(-2)=2$. Zgadza się. c) Brak punktów z $y=0$. Brak miejsc zerowych. Zgadza się.

• Mylenie osi X i Y: Najczęstszy błąd. Pamiętaj, że na osi poziomej są argumenty ($x$), a na pionowej wartości funkcji ($y$ lub $f(x)$). Kiedy szukasz $f(2)$, szukasz na osi X liczby 2, a potem idziesz do góry/dołu do wykresu i odczytujesz wartość na osi Y. Kiedy szukasz $x$ dla $f(x)=3$, szukasz na osi Y liczby 3, a potem idziesz w prawo/lewo do wykresu i odczytujesz wartość na osi X.
• Niedokładne odczytywanie z wykresu: Jeśli punkty nie są wyraźnie zaznaczone, staraj się prowadzić linie pomocnicze prostopadle do osi. Uważaj na linie przerywane lub niezaznaczone punkty końcowe.
• Przedziały otwarte vs domknięte: Pamiętaj, że kółko zamalowane (*) oznacza, że dana wartość należy do dziedziny/zbioru wartości lub jest początkiem/końcem przedziału monotoniczności. Kółko niezamalowane (o) oznacza, że dana wartość nie należy do dziedziny/zbioru wartości. W zadaniach egzaminacyjnych najczęściej spotkasz kółka zamalowane lub wykresy bez zaznaczonych kółek, co sugeruje, że końce przedziałów należą do dziedziny.
• Łączenie przedziałów monotoniczności: Funkcja może być rosnąca w kilku przedziałach. Jeśli punkty graniczne tych przedziałów są "połączone" (funkcja jest ciągła w tym punkcie), często można połączyć te przedziały w jeden większy. Np. funkcja rosnąca w $[-2, 0]$ i w $[0, 3]$ jest rosnąca w $[-2, 3]$. Jeśli w punkcie $x=0$ następuje "załamanie" wykresu i funkcja zaczyna maleć, to przedziały pozostają osobne.

1. Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $k$.

         ^ y
         |
       3 +       *
         |      /|
       2 +-----* |
         |    /  |
       1 +---/---+-------
         |  /    |
   ------+--+----+---+---> x
        -2  -1   0   1
         |
      -1 + *
         |
   

   a) Oblicz $k(-1)$. b) Znajdź $x$ takie, że $k(x)=1$. c) Podaj dziedzinę funkcji $k$. d) Podaj zbiór wartości funkcji $k$. e) Podaj argumenty, dla których funkcja $k$ jest malejąca.

2. Dana jest funkcja $m$, której fragment wykresu przedstawiono poniżej. Wykres jest określony dla $x \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.

         ^ y
         |
       2 +   *
         |  /|
       1 +--*--*-------
         | / | /
   ------+---+---+---+---> x
        -2  -1   0   1
         |
      -1 +     *
         |
      -2 +       *
         |
   

   a) Odczytaj z wykresu wartości $m(-3)$ oraz $m(0)$. b) Znajdź argumenty $x$, dla których $m(x)=1$. c) Znajdź miejsca zerowe funkcji $m$.

3. Na poniższym wykresie przedstawiono funkcję $p$.

         ^ y
         |
       4 +---------*
         |         |
       3 +         |
         |         |
       2 +       / |
         |      /  |
       1 +-----*---+-------
         |    /    |
   ------+---+---+---+---> x
        -1   0   1   2
         |
   

   a) Jaka jest wartość funkcji $p$ dla $x=0$? b) Dla jakich argumentów $x$ funkcja $p$ przyjmuje wartość $3$? c) Podaj przedziały, w których funkcja $p$ jest rosnąca. d) Podaj przedział, w którym funkcja $p$ jest stała. e) Znajdź największą wartość funkcji $p$.

4. Wykres funkcji $q$ jest następujący:

         ^ y
         |
       2 +   *
         |  /|
       1 +--+--*-------
         | / | /
   ------+---+---+---+---> x
        -2  -1   0   1
         |
      -1 +     *
         |
   

   Dziedzina funkcji $q$ to $D_q = \{-2, -1, 0, 1\}$. Podaj: a) Wartość funkcji $q$ dla $x=0$. b) Argumenty $x$, dla których $q(x)=-1$. c) Miejsca zerowe funkcji $q$.

5. Na rysunku poniżej znajduje się wykres funkcji $r$.

         ^ y
         |
       3 +       *
         |      / \
       2 +-----*   *
         |    /     \
       1 +---/-------\---
         |  /         \
   ------+--+----+----+-----> x
        -3  -2   -1   0    1
         |
   

   Dziedzina funkcji $r$ to $[-3, 1]$. a) Odczytaj z wykresu wartość $r(-1)$. b) Podaj argumenty, dla których $r(x)=1$. c) Podaj przedziały, w których funkcja $r$ jest rosnąca. d) Podaj przedziały, w których funkcja $r$ jest malejąca. e) Podaj zbiór wartości funkcji $r$.

6. Funkcja $s$ jest przedstawiona na wykresie.

         ^ y
         |
       3 +       *
         |      /|
       2 +-----* |
         |    /  |
       1 +---/---+-------
         |  /    |
   ------+--+----+---+---> x
        -2  -1   0   1
         |
      -1 + *
         |
   

   Jaka jest najmniejsza wartość funkcji $s$?

7. Funkcja $t$ ma następujący wykres:

         ^ y
         |
       2 +       *
         |      /
       1 +-----*-------
         |    /
   ------+--+----+-----> x
        -2  -1   0
         |
   

   Dziedzina funkcji $t$ to $[-2, 0]$. a) Odczytaj $t(-1)$. b) Podaj argument $x$, dla którego $t(x)=2$. c) Czy funkcja $t$ ma miejsca zerowe? Odpowiedź uzasadnij.

1. Co na wykresie reprezentuje oś pozioma (OX)?
2. Co na wykresie reprezentuje oś pionowa (OY)?
3. Gdzie na wykresie odczytujemy miejsca zerowe funkcji?
4. Jak na wykresie rozpoznać, czy funkcja jest rosnąca?
5. Czym różni się dziedzina od zbioru wartości w kontekście wykresu?