Obwody figur

Zadania dotyczące obwodów figur pojawiają się regularnie na egzaminie ósmoklasisty, zwykle w zadaniach otwartych, ale czasem też zamkniętych. Ich poziom trudności jest zróżnicowany – od prostych obliczeń, po zadania tekstowe wymagające analizy i kilku etapów rozwiązania. CKE lubi sprawdzać umiejętność zastosowania wzorów na obwody w kontekście praktycznym, np. przy obliczaniu długości ogrodzenia czy taśmy. Zazwyczaj jedno zadanie z obwodów to około 3-5 punktów.

1. Zrozumienie pojęcia obwodu figury płaskiej.
2. Obliczanie obwodu wielokątów o znanych bokach (trójkąty, czworokąty, wielokąty dowolne).
3. Obliczanie obwodu prostokąta i kwadratu ze szczególnym uwzględnieniem wzorów.
4. Obliczanie obwodu rombu, równoległoboku, trapezu.
5. Obliczanie obwodu figur złożonych z prostszych kształtów.
6. Rozwiązywanie zadań tekstowych związanych z obwodami.
7. Wykorzystanie informacji o obwodzie do obliczenia długości nieznanego boku.
8. Podstawowe zadania z okręgiem (obwód koła jako wprowadzanie).

• Obwód figury płaskiej to suma długości wszystkich jej boków. Oznaczamy go zazwyczaj literą $Ob$ lub $L$. Obwód to wielkość jednowymiarowa, wyrażana w jednostkach długości (np. cm, m, km).
• Wielokąty:
  • Trójkąt o bokach długości $a, b, c$: $Ob = a + b + c$
  • Czworokąt o bokach długości $a, b, c, d$: $Ob = a + b + c + d$
• Szczególne czworokąty:
  • Kwadrat o boku długości $a$: $Ob = 4 \cdot a$
  • Prostokąt o bokach długości $a, b$: $Ob = 2a + 2b = 2(a+b)$
  • Romb o boku długości $a$: (wszystkie boki równe) $Ob = 4a$
  • Równoległobok o bokach długości $a, b$: (boki przeciwległe równe) $Ob = 2a + 2b = 2(a+b)$
  • Trapez: (oznaczamy boki jako $a, b, c, d$, gdzie $a$ i $c$ to podstawy, a $b$ i $d$ to ramiona) $Ob = a + b + c + d$
    • Trapez równoramienny: boki nierównoległe ($b$ i $d$) są równe. $Ob = a + 2b + c$
• Wielokąt foremny: wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równej miary. Obwód wielokąta foremnego o $n$ bokach, gdzie długość każdego boku wynosi $a$, obliczamy jako: $Ob = n \cdot a$
  • Sześciokąt foremny o boku $a$: $Ob = 6a$
  • Pięciokąt foremny o boku $a$: $Ob = 5a$
• Figury złożone: Obwód jest sumą długości wszystkich zewnętrznych boków figury. Należy uważać, aby nie policzyć dwukrotnie wewnętrznych odcinków wspólnych dla dwóch figur składowych.
• Okrąg (Koło):
  • Długość okręgu (obwód koła) o promieniu $r$ lub średnicy $d$: $Ob = 2 \pi r$ lub $Ob = \pi d$ gdzie $\pi$ (pi) to stała matematyczna, w przybliżeniu 3.14. Na egzaminie często używa się przybliżenia $\pi \approx 3.14$ lub $\pi \approx \frac{22}{7}$, chyba że polecenie stanowi inaczej lub wymaga odpowiedzi z $\pi$.

Oblicz obwód prostokąta, którego jeden bok ma długość 8 cm, a drugi jest o 3 cm dłuższy.

Krok 1. Zrozumienie danych: Mamy prostokąt. Jeden bok ($a$) ma 8 cm. Drugi bok ($b$) jest o 3 cm dłuższy od pierwszego. Krok 2. Obliczenie długości drugiego boku: $b = a + 3 \text{ cm} = 8 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 11 \text{ cm}$. Krok 3. Przypomnienie wzoru na obwód prostokąta: $Ob = 2a + 2b$. Krok 4. Podstawienie danych do wzoru: $Ob = 2 \cdot 8 \text{ cm} + 2 \cdot 11 \text{ cm}$. Krok 5. Wykonanie obliczeń: $Ob = 16 \text{ cm} + 22 \text{ cm} = 38 \text{ cm}$.

Sprawdzenie: Boki prostokąta to 8 cm i 11 cm. Suma wszystkich boków: $8 + 11 + 8 + 11 = 38$ cm. Wynik jest poprawny.

Działka w kształcie trapezu równoramiennego ma podstawy długości 20 metrów i 30 metrów. Dłuższa podstawa jest o 5 metrów dłuższa od każdego z ramion. Oblicz obwód tej działki.

Krok 1. Identyfikacja figury i danych: Mamy trapez równoramienny. Oznaczmy podstawy jako $a$ i $c$, a ramiona jako $b$ i $d$. W trapezach równoramiennych $b = d$. Krok 2. Przypisanie wartości do boków: Wiemy, że podstawy mają 20 m i 30 m. Dłuższa podstawa to $a = 30$ m. Krótsza podstawa to $c = 20$ m. Krok 3. Obliczenie długości ramion: Dłuższa podstawa ($a = 30$ m) jest o 5 m dłuższa od każdego z ramion ($b$ i $d$). Czyli każde ramię ma długość: $b = d = a - 5 \text{ m} = 30 \text{ m} - 5 \text{ m} = 25 \text{ m}$. Krok 4. Przypomnienie wzoru na obwód trapezu: $Ob = a + b + c + d$. Ponieważ jest to trapez równoramienny, możemy użyć $Ob = a + c + 2b$. Krok 5. Podstawienie wartości i obliczenie obwodu: $Ob = 30 \text{ m} + 20 \text{ m} + 2 \cdot 25 \text{ m} = 50 \text{ m} + 50 \text{ m} = 100 \text{ m}$.

Sprawdzenie: Podstawy to 30 m i 20 m. Ramiona to po 25 m. Suma boków: $30 + 25 + 20 + 25 = 100$ m. Wynik jest poprawny.

Ogrodnik chce ogrodzić prostokątną rabatę kwiatową o wymiarach 4 metry na 6 metrów. Jakiej długości siatki potrzebuje, jeśli siatka sprzedawana jest w rolkach po 10 metrów? Ile rolek siatki musi kupić?

Krok 1. Określenie potrzebnej długości siatki: Siatka ma otaczać rabatę, czyli jej długość musi być równa obwodowi rabaty. Rabatę stanowi prostokąt o bokach $a = 4$ m i $b = 6$ m. Krok 2. Obliczenie obwodu rabaty: Używamy wzoru na obwód prostokąta $Ob = 2(a+b)$. $Ob = 2(4 \text{ m} + 6 \text{ m}) = 2(10 \text{ m}) = 20 \text{ m}$ Ogrodnik potrzebuje 20 metrów siatki. Krok 3. Określenie liczby potrzebnych rolek: Siatka sprzedawana jest w rolkach po 10 metrów. Aby dowiedzieć się, ile rolek potrzeba, dzielimy całkowitą potrzebną długość przez długość jednej rolki: $\text{Liczba rolek} = \frac{\text{Potrzebna długość}}{\text{Długość rolki}} = \frac{20 \text{ m}}{10 \text{ m}} = 2$ Ogrodnik musi kupić 2 rolki siatki.

Sprawdzenie: Obwód rabaty to 20 m. Dwie rolki po 10 m dają $2 \times 10 = 20$ m siatki, co wystarcza. Wynik jest poprawny.

• Mylenie obwodu z polem: Obwód to suma długości boków (jednostki liniowe, np. cm), a pole to powierzchnia (jednostki kwadratowe, np. cm$^2$). Nie należy podstawiać wartości pola do wzorów na obwód i odwrotnie.
• Niedoliczenie wszystkich boków: Przy figurach nieregularnych lub złożonych łatwo zapomnieć o którymś boku. Zawsze warto zrobić szkic i zaznaczać policzone boki.
• Błędy w obliczeniach przy figurach złożonych: W zadaniach, gdzie figura jest złożona z prostokątów (np. litera L), należy dodać tylko zewnętrzne boki. Wewnętrzne odcinki, które nie są częścią zewnętrznego obrysu, nie wliczają się do obwodu.
• Niewłaściwe zastosowanie wzorów dla szczególnych przypadków: Pamiętaj, że wzór $Ob = 2(a+b)$ jest dla prostokąta i równoległoboku, a $Ob = 4a$ dla kwadratu i rombu. Kwadrat i romb to też czworokąty, ale mają swoje bardziej specyficzne wzory.
• Brak jednostek lub błędne jednostki: Zawsze podawaj wynik z odpowiednimi jednostkami długości. Na egzaminie często wymaga się ich podania.

1. Oblicz obwód trójkąta równobocznego, którego bok ma długość 7 cm.
2. Oblicz obwód rombu, jeśli jego krótsza przekątna ma długość 6 cm, a dłuższa 8 cm.
3. Oblicz obwód kwadratu, jeśli jego pole wynosi 36 cm$^2$.
4. Plac zabaw ma kształt sześciokąta foremnego o boku 12 metrów. Oblicz obwód placu zabaw.
5. Długość okręgu wynosi $24\pi$ cm. Jaka jest długość promienia tego okręgu?
6. Płot ma mieć kształt prostokąta o wymiarach 15 metrów na 10 metrów. Ile metrów siatki potrzeba na budowę płotu?
7. Pokój w kształcie litery L składa się z dwóch prostokątów o wymiarach 3m x 4m i 2m x 5m (gdzie dłuższy bok 5m przylega do dłuższego boku 4m). Oblicz obwód tego pokoju.

1. Co to jest obwód figury?
2. Podaj wzór na obwód prostokąta.
3. Czym różni się obwód kwadratu od obwodu rombu, jeśli mają takie same boki?
4. Jak obliczyć obwód figury złożonej z dwóch prostokątów?
5. Jaka jest zależność między długością okręgu a jego promieniem?

Prostokąt z zaznaczonymi bokami:

       b
   +-------+
 a |       | a
   +-------+
       b

Obwód = a + b + a + b = 2a + 2b