Podobieństwo figur

Podobieństwo figur płaskich pojawia się na egzaminie ósmoklasisty dość często, zazwyczaj w zadaniach otwartych, ale czasem również jako element zadań zamkniętych. Zazwyczaj można zdobyć za nie 2-4 punkty. Egzaminatorzy lubią sprawdzać umiejętność obliczania długości boków, wysokości lub obwodów figur podobnych, a także stosowania zależności między polami figur podobnych. Często pojawiają się zadania tekstowe lub związane z geometrii (np. trójkąty, czworokąty).

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił/a:

1. Zrozumieć definicję dwóch figur podobnych płaskich.
2. Rozpoznać i zastosować pojęcie jednokładności w kontekście podobieństwa.
3. Obliczyć skalę podobieństwa dla danych figur.
4. Obliczyć brakujące wymiary (boki, wysokości, obwody) figur podobnych, znając niektóre ich wymiary i skalę podobieństwa.
5. Zrozumieć i zastosować zależność między obwodami figur podobnych.
6. Zrozumieć i zastosować zależność między polami figur podobnych.
7. Rozwiązywać zadania tekstowe i geometryczne z wykorzystaniem podobieństwa figur.
8. Określić, czy dane figury (np. trójkąty, prostokąty) są podobne.

• Figury podobne: Dwie figury geometryczne nazywamy podobnymi, jeśli jedna jest obrazem drugiej w pewnej jednokładności (lub w złożeniu jednokładności i przekształcenia izometrycznego, np. przesunięcia, obrotu, symetrii). Figurami podobnymi są więc figury, które mają takie same kształty, ale mogą różnić się wielkością. Figury przystające są szczególnym przypadkiem figur podobnych o skali podobieństwa równej 1.
• Jednokładność: Jest to przekształcenie geometryczne, które przekształca punkt $P$ na punkt $P'$ w taki sposób, że punkt $O$ (środek jednokładności) oraz punkty $P$ i $P'$ leżą na jednej prostej, a stosunek odległości punktu $P'$ od $O$ do odległości punktu $P$ od $O$ jest stały i równy liczbie $k$ (zwanej skalą jednokładności). $k = \frac{|OP'|}{|OP|}$. Jeśli $k > 0$, punkty $P$ i $P'$ leżą po tej samej stronie punktu $O$. Jeśli $k < 0$, leżą po przeciwnych stronach. Jeśli $|k|=1$, jednokładność jest izometrią (przesunięciem, jeśli $k=1$, lub środkowosymetria, jeśli $k=-1$).
• Skala podobieństwa ($k$): Stosunek odpowiadających sobie długości w dwóch figurach podobnych. Jeśli figura $A'$ jest podobna do figury $A$ w skali $k$, to każda długość w $A'$ jest $k$ razy większa niż odpowiadająca jej długość w $A$.
  • Dla odcinków $AB$ w figurze $A$ i $A'B'$ w figurze $A'$ podobnej do $A$: $k = \frac{|A'B'|}{|AB|}$.
  • Jeśli $k > 1$, figura $A'$ jest powiększona w stosunku do $A$.
  • Jeśli $0 < k < 1$, figura $A'$ jest pomniejszona w stosunku do $A$.
  • Jeśli $k = 1$, figury $A$ i $A'$ są przystające.
• Cechy figur podobnych:
  • Odpowiadające sobie kąty są równe.
  • Stosunek odpowiadających sobie boków jest stały i równy skali podobieństwa $k$.
• Podobieństwo trójkątów: Dwa trójkąty są podobne, jeśli:
  • Cecha BBB: Stosunki długości wszystkich trzech par odpowiadających sobie boków są równe: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$.
  • Cecha BCC: Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch odpowiadających boków drugiego trójkąta, a kąty między tymi bokami są równe. $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = k$ i $\gamma = \gamma'$.
  • Cecha BB: Dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta (a więc i trzecie kąty są równe): $\alpha = \alpha'$ i $\beta = \beta'$.
• Wzory dla figur podobnych:
  • Obwód: Jeśli $Ob$ i $Ob'$ są obwodami figur $A$ i $A'$ podobnych w skali $k$, to $\frac{Ob'}{Ob} = k$, czyli $Ob' = k \cdot Ob$. Obwody figur podobnych są proporcjonalne do skali podobieństwa.
  • Pole: Jeśli $P$ i $P'$ są polami figur $A$ i $A'$ podobnych w skali $k$, to $\frac{P'}{P} = k^2$, czyli $P' = k^2 \cdot P$. Pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa.

Prostokąt $ABCD$ ma boki długości $|AB| = 8$ cm i $|BC| = 4$ cm. Prostokąt $A'B'C'D'$ jest podobny do $ABCD$ w skali $k = \frac{3}{2}$. Oblicz długości boków prostokąta $A'B'C'D'$.

• Krok 1. Zidentyfikuj dane. Mamy prostokąt $ABCD$ o bokach $a = 8$ cm i $b = 4$ cm. Prostokąt $A'B'C'D'$ jest podobny do $ABCD$ w skali $k = \frac{3}{2}$.
• Krok 2. Zrozumienie pojęcia podobieństwa dla prostokątów. Boki prostokąta $A'B'C'D'$ odpowiadają bokom prostokąta $ABCD$. Oznacza to, że bok $A'B'$ odpowiada bokowi $AB$, a bok $B'C'$ odpowiada bokowi $BC$.
• Krok 3. Oblicz długość boku $|A'B'|$. Bok $|A'B'|$ jest odpowiadającym bokiem do $|AB|$. Skorzystaj ze wzoru na skalę podobieństwa: $k = \frac{|A'B'|}{|AB|}$. Przekształć wzór, aby obliczyć $|A'B'|$: $|A'B'| = k \cdot |AB|$. Podstaw dane: $|A'B'| = \frac{3}{2} \cdot 8$ cm.
• Krok 4. Oblicz długość boku $|B'C'|$. Bok $|B'C'|$ jest odpowiadającym bokiem do $|BC|$. Skorzystaj ze wzoru: $k = \frac{|B'C'|}{|BC|}$. Przekształć wzór: $|B'C'| = k \cdot |BC|$. Podstaw dane: $|B'C'| = \frac{3}{2} \cdot 4$ cm.
• Krok 5. Wykonaj obliczenia.
  • $|A'B'| = \frac{3}{2} \cdot 8 \text{ cm} = 3 \cdot \frac{8}{2} \text{ cm} = 3 \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.
  • $|B'C'| = \frac{3}{2} \cdot 4 \text{ cm} = 3 \cdot \frac{4}{2} \text{ cm} = 3 \cdot 2 \text{ cm} = 6 \text{ cm}$.

Sprawdzenie: Stosunek boków w pierwszym prostokącie: $\frac{8}{4} = 2$. Stosunek boków w drugim prostokącie: $\frac{12}{6} = 2$. Kształty są takie same. Skala podobieństwa: $\frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. $\frac{|B'C'|}{|BC|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Skala się zgadza. Wynik jest poprawny.

Dwa trójkąty, $ABC$ i $A'B'C'$, są podobne. Długości boków trójkąta $ABC$ wynoszą $a=6$ cm, $b=8$ cm, $c=10$ cm. Najkrótszy bok trójkąta $A'B'C'$ ma długość $a'=9$ cm. Oblicz obwód i pole trójkąta $A'B'C'$.

• Krok 1. Określ dane i cel. Mamy trójkąt $ABC$ z bokami $a=6$, $b=8$, $c=10$. Trójkąt $A'B'C'$ jest podobny do $ABC$. Najkrótszy bok $a'$ w trójkącie $A'B'C'$ ma długość $9$ cm. Należy obliczyć obwód i pole trójkąta $A'B'C'$.
• Krok 2. Znajdź skalę podobieństwa. Najkrótszy bok w trójkącie $ABC$ to $a=6$ cm. Najkrótszy bok w trójkącie $A'B'C'$ to $a'=9$ cm. Skala podobieństwa $k$ jest stosunkiem odpowiadających sobie boków: $k = \frac{a'}{a} = \frac{9 \text{ cm}}{6 \text{ cm}} = \frac{3}{2}$.
• Krok 3. Oblicz obwód trójkąta $ABC$. Obwód $Ob = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ cm.
• Krok 4. Oblicz obwód trójkąta $A'B'C'$. Skorzystaj ze wzoru $Ob' = k \cdot Ob$. $Ob' = \frac{3}{2} \cdot 24 \text{ cm} = 3 \cdot \frac{24}{2} \text{ cm} = 3 \cdot 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$.
• Krok 5. Oblicz pole trójkąta $ABC$. Zauważ, że boki $6, 8, 10$ spełniają twierdzenie Pitagorasa: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Jest to trójkąt prostokątny. Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych. $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$.
• Krok 6. Oblicz pole trójkąta $A'B'C'$. Skorzystaj ze wzoru $P' = k^2 \cdot P$. $P' = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot 24 \text{ cm}^2 = \frac{9}{4} \cdot 24 \text{ cm}^2 = 9 \cdot \frac{24}{4} \text{ cm}^2 = 9 \cdot 6 \text{ cm}^2 = 54 \text{ cm}^2$.

Sprawdzenie: Obliczmy boki $b'$ i $c'$ trójkąta $A'B'C'$: $b' = k \cdot b = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$ cm. $c' = k \cdot c = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15$ cm. Boki trójkąta $A'B'C'$ to $9, 12, 15$. Sprawdźmy, czy $A'B'C'$ jest trójkątem prostokątnym: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $15^2 = 225$. Tak, jest prostokątny. Obwód $Ob' = 9 + 12 + 15 = 36$ cm. Zgadza się z obliczonym. Pole $P' = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54$ cm$^2$. Zgadza się z obliczonym. Wynik jest poprawny.

W pewnej mapie w skali 1:50000 odcinek drogi ma długość 5 cm. Jaka jest rzeczywista długość tej drogi w kilometrach? Jeśli na tej samej mapie obrazem działki jest prostokąt o polu 20 cm$^2$, jakie jest pole tej działki w metrach kwadratowych?

• Krok 1. Analiza pierwszego pytania (długość drogi). Mapa ma skalę $1:50000$. Odcinek na mapie ma $5$ cm.

• Krok 2. Obliczenie rzeczywistej długości drogi. Skala $1:50000$ oznacza, że $1$ cm na mapie odpowiada $50000$ cm w rzeczywistości. Rzeczywista długość = Długość na mapie $\times$ Skala (wartość liczbowa). Rzeczywista długość $= 5 \text{ cm} \times 50000 = 250000 \text{ cm}$.

• Krok 3. Zamiana jednostek na kilometry. Wiemy, że $1$ km $= 1000$ m, a $1$ m $= 100$ cm. Zatem $1$ km $= 1000 \cdot 100$ cm $= 100000$ cm. Rzeczywista długość w km $= \frac{250000 \text{ cm}}{100000 \text{ cm/km}} = 2.5 \text{ km}$.

• Krok 4. Analiza drugiego pytania (pole działki). Prostokąt na mapie ma pole $P_{mapa} = 20$ cm$^2$. Mapa jest w skali $1:50000$.

• Krok 5. Zastosowanie zależności między polami figur podobnych. Mapa i rzeczywista działka są figurami podobnymi. Skala podobieństwa między mapą a rzeczywistością to $k_{mapa\_rzecz} = 50000$. Chcemy znaleźć pole rzeczywiste $P_{rzecz}$. Wzór na pole: $P_{rzecz} = (k_{mapa\_rzecz})^2 \cdot P_{mapa}$. $P_{rzecz} = (50000)^2 \cdot 20 \text{ cm}^2$. $P_{rzecz} = (5 \times 10^4)^2 \cdot 20 \text{ cm}^2 = (25 \times 10^8) \cdot 20 \text{ cm}^2 = 500 \times 10^8 \text{ cm}^2 = 5 \times 10^{10} \text{ cm}^2$.

• Krok 6. Zamiana jednostek pola na metry kwadratowe. Wiemy, że $1$ m $= 100$ cm. Zatem $1$ m$^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10000 \text{ cm}^2$. $P_{rzecz} (\text{w m}^2) = \frac{5 \times 10^{10} \text{ cm}^2}{10000 \text{ cm}^2/\text{m}^2} = \frac{5 \times 10^{10}}{10^4} \text{ m}^2 = 5 \times 10^6 \text{ m}^2$. Wynik: $5000000$ m$^2$.

Sprawdzenie: Długość drogi: $2.5$ km to $2500$ m, czyli $250000$ cm. $250000 / 50000 = 5$ cm. Zgadza się. Pole działki: Skala podobieństwa rzeczywistego do mapy jest $k=50000$. Pole rzeczywiste $= k^2 \times$ Pole mapy. $P_{rzecz} = (50000)^2 \times 20 \text{ cm}^2 = 2500000000 \times 20 \text{ cm}^2 = 50000000000 \text{ cm}^2$. $1 \text{ m}^2 = 10000 \text{ cm}^2$. $P_{rzecz} (\text{w m}^2) = 50000000000 / 10000 = 5000000 \text{ m}^2$. Zgadza się.

• Mylenie skali podobieństwa z odwrotnością skali: Pamiętaj, że jeśli figura $A'$ jest podobna do figury $A$ w skali $k$, to stosunek boku w $A'$ do odpowiadającego boku w $A$ wynosi $k$. Jeśli masz np. dwie figury i wiesz, że jedna jest większa od drugiej, to skala $k > 1$. Jeśli masz podaną skalę w postaci $1:m$, to $k=m$ dla przejścia od mniejszej do większej figury.
• Brak kwadratu przy polach: Często popełnianym błędem jest stosowanie zależności $P' = k \cdot P$ zamiast poprawnej $P' = k^2 \cdot P$. Pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratu skali.
• Niewłaściwe przyporządkowanie boków: Przy figurach nieregularnych lub gdy nie są one odpowiednio zorientowane, łatwo pomylić, który bok odpowiada któremu. Zawsze szukaj par boków (lub innych elementów) leżących naprzeciw równych kątów lub w podobnych pozycjach. W prostokątach czy kwadratach krótszy bok odpowiada krótszemu, dłuższy dłuższemu.
• Błędy w obliczeniach arytmetycznych: Działania na ułamkach, potęgowanie (zwłaszcza liczb z zerami), zamiana jednostek – to częste źródła błędów. Zawsze sprawdzaj swoje obliczenia.
• Niewłaściwe zastosowanie cech podobieństwa trójkątów: Upewnij się, że stosujesz odpowiednie cechy i że dane, które masz, faktycznie pozwalają na stwierdzenie podobieństwa.

1. Trójkąt $ABC$ ma boki długości $a=4$ cm, $b=6$ cm, $c=8$ cm. Trójkąt $A'B'C'$ jest podobny do $ABC$ w skali $k = \frac{1}{2}$. Oblicz obwód trójkąta $A'B'C'$.
2. Dwa kwadraty są podobne. Bok pierwszego kwadratu ma długość $5$ cm, a bok drugiego kwadratu ma długość $10$ cm. Ile razy pole drugiego kwadratu jest większe od pola pierwszego kwadratu?
3. Dwa trójkąty prostokątne są podobne. Przyprostokątne jednego trójkąta mają długość $3$ cm i $4$ cm. Przeciwprostokątna drugiego trójkąta wynosi $15$ cm. Oblicz długości przyprostokątnych drugiego trójkąta.
4. Prostokąt $KLMN$ ma wymiary $12$ cm x $18$ cm. Prostokąt $K'L'M'N'$ jest podobny do $KLMN$ i jego krótszy bok ma długość $6$ cm. Oblicz obwód i pole prostokąta $K'L'M'N'$.
5. Na planie miasta w skali $1:10000$ park ma kształt prostokąta o wymiarach $5$ cm x $8$ cm. Jakie jest rzeczywiste pole powierzchni tego parku w arach? (Pamiętaj: $1$ ar $= 100$ m$^2$).
6. Dwa trójkąty równoboczne są podobne. Obwód większego trójkąta wynosi $36$ cm. Stosunek boku mniejszego trójkąta do boku większego wynosi $\frac{2}{3}$. Oblicz pole mniejszego trójkąta.

1. Jakie są dwie podstawowe cechy figur podobnych?
2. Jeśli skala podobieństwa figur wynosi $k=3$, to jak mają się do siebie ich obwody? A pola?
3. Podaj warunki, na podstawie których można stwierdzić, że dwa trójkąty są podobne.
4. Jaka jest zależność między bokami dwóch prostokątów, jeśli są one podobne?
5. W jakim przypadku dwie figury podobne są przystające?

+-----------------+     k>1     +-----------------+
|   Figura A      | --------->|   Figura A'     |
|   (mniejsza)    |             |   (większa)     |
+-----------------+             +-----------------+
      |     ^                            |     ^
      |     | Skala k                    |     | Skala k
      |     |                            |     |
      | Obwód Ob                         | Obwód Ob' = k * Ob
      | Pole P                         | Pole P' = k^2 * P
      +-----------------+     k<1     +-----------------+
|   Figura B      | --------->|   Figura B'     |
|   (większa)     |             |   (mniejsza)    |
+-----------------+             +-----------------+