Procenty

Procenty to wszechobecny temat na egzaminie ósmoklasisty, pojawiający się w zadaniach otwartych i zamkniętych. Można spodziewać się 2-3 zadań, których łączna punktacja wynosi zazwyczaj 4-6 punktów. CKE często sprawdza umiejętność obliczania procentu danej liczby, procentu z procentu, podwyżek i obniżek cen, a także odczytywania danych z tabel i wykresów przedstawionych za pomocą procentów.

Rozumienie pojęcia procentu jako części całości.
Zamiana procentów na ułamki i liczby dziesiętne oraz odwrotnie.
Obliczanie procentu danej liczby.
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent.
Obliczanie podwyżek i obniżek procentowych.
Procent składany (w ograniczonym zakresie, jako podwyżka/obniżka dwukrotna).
Zastosowanie procentów w zadaniach tekstowych.

Procent — jedna setna (1/100) pewnej wielkości. Symbol procentu to %.
- $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$
Zamiana procentów na ułamki i liczby dziesiętne:
- Aby zamienić procent na ułamek, dzielimy liczbę procentów przez 100.
  - $x\% = \frac{x}{100}$
- Aby zamienić procent na liczbę dziesiętną, przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo.
  - $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$
  - $150\% = \frac{150}{100} = 1.5$
  - $7\% = \frac{7}{100} = 0.07$
Zamiana ułamków i liczb dziesiętnych na procenty:
- Aby zamienić ułamek lub liczbę dziesiętną na procent, mnożymy przez 100 i dodajemy znak %.
  - $0.45 = 0.45 \cdot 100\% = 45\%$
  - $\frac{3}{4} = 0.75 = 0.75 \cdot 100\% = 75\%$
  - $1.2 = 1.2 \cdot 100\% = 120\%$
Obliczanie procentu danej liczby:
- Aby obliczyć $p\%$ $p %$ pewnej liczby $L$ $L$ , mnożymy liczbę $L$ $L$ przez $p\%$ $p %$ (zamienioną na ułamek lub liczbę dziesiętną).
  - Oblicz $20\%$ liczby 150.
  - Rozwiązanie: $20\% = 0.20$ . Wartość: $150 \cdot 0.20 = 30$ .
  - Alternatywnie: $150 \cdot \frac{20}{100} = 150 \cdot \frac{1}{5} = 30$ .
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba:
- Aby obliczyć, jakim procentem liczby $L_1$ $L_{1}$ jest liczba $L_2$ $L_{2}$ , dzielimy $L_2$ $L_{2}$ przez $L_1$ $L_{1}$ i mnożymy wynik przez 100%.
  - Jaki procent z 50 stanowi 10?
  - Rozwiązanie: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$ .
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent:
- Jeśli $p\%$ $p %$ pewnej liczby $L$ $L$ wynosi $W$ $W$ , to aby obliczyć liczbę $L$ $L$ , dzielimy $W$ $W$ przez $p\%$ $p %$ (zamienioną na ułamek lub liczbę dziesiętną).
  - Wiemy, że $30\%$ pewnej liczby wynosi 60. Jaka to liczba?
  - Rozwiązanie: $30\% = 0.30$ . Szukana liczba $L$ : $L = \frac{60}{0.30} = \frac{600}{3} = 200$ .
  - Alternatywnie: $L = 60 \div \frac{30}{100} = 60 \div \frac{3}{10} = 60 \cdot \frac{10}{3} = 20 \cdot 10 = 200$ .
Podwyżki i obniżki procentowe:
- Podwyżka o $p\%$ : Nowa cena/wartość = Cena/wartość początkowa $\cdot (1 + \frac{p}{100})$ $\cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
  - Cena roweru 1200 zł została podwyższona o 10%. Jaka jest nowa cena?
  - $1200 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1200 \cdot (1 + 0.1) = 1200 \cdot 1.1 = 1320$ zł.
- Obniżka o $p\%$ : Nowa cena/wartość = Cena/wartość początkowa $\cdot (1 - \frac{p}{100})$ $\cdot (1 - \frac{p}{100})$ .
  - Cena bluzy 80 zł została obniżona o 25%. Jaka jest nowa cena?
  - $80 \cdot (1 - \frac{25}{100}) = 80 \cdot (1 - 0.25) = 80 \cdot 0.75 = 60$ zł.
Procent z procentu:
- Oblicz $50\%$ z $20\%$ liczby 100.
- $20\%$ ze 100 to $100 \cdot 0.20 = 20$ .
- $50\%$ z 20 to $20 \cdot 0.50 = 10$ .
- Krócej: $100 \cdot (\frac{20}{100}) \cdot (\frac{50}{100}) = 100 \cdot 0.2 \cdot 0.5 = 10$ .

Oblicz $15\%$ liczby 200.

Krok 1. Zamiana procentu na liczbę dziesiętną lub ułamek. $15\% = \frac{15}{100} = 0.15$ .

Krok 2. Pomnożenie liczby przez uzyskaną wartość. Szukana wartość to $200 \cdot 0.15$ .

Krok 3. Wykonanie mnożenia. $200 \cdot 0.15 = 200 \cdot \frac{15}{100} = 2 \cdot 15 = 30$ .

Sprawdzenie: $10\%$ ze 200 to 20. $5\%$ ze 200 to połowa z 20, czyli 10. $15\%$ ze 200 to $10\% + 5\%$ , czyli $20 + 10 = 30$ . Wynik jest poprawny.

Cena komputera wynosiła 3000 zł. Cenę tę najpierw obniżono o 10%, a następnie nową cenę podwyższono o 20%. Czy końcowa cena jest wyższa czy niższa od początkowej i o ile złotych?

Krok 1. Obliczenie ceny po pierwszej obniżce. Obniżka o 10% oznacza, że nowa cena to $100\% - 10\% = 90\%$ ceny początkowej. Nowa cena $= 3000 \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 3000 \cdot (1 - 0.1) = 3000 \cdot 0.9 = 2700$ zł.

Krok 2. Obliczenie ceny po drugiej operacji (podwyżce). Nową cenę (2700 zł) podwyższono o 20%. Oznacza to, że nowa cena to $100\% + 20\% = 120\%$ poprzedniej ceny. Końcowa cena $= 2700 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 2700 \cdot (1 + 0.2) = 2700 \cdot 1.2$ .

Krok 3. Wykonanie mnożenia. $2700 \cdot 1.2 = 2700 \cdot \frac{12}{10} = 270 \cdot 12$ . $270 \cdot 10 = 2700$ . $270 \cdot 2 = 540$ . $2700 + 540 = 3240$ zł.

Krok 4. Porównanie ceny końcowej z początkową. Cena początkowa: 3000 zł. Cena końcowa: 3240 zł. Cena końcowa jest wyższa od początkowej.

Krok 5. Obliczenie różnicy. Różnica $= 3240 - 3000 = 240$ zł.

Odpowiedź: Końcowa cena jest wyższa od początkowej o 240 zł.

W klasie liczącej 30 uczniów, 60% to dziewczęta. Ilu chłopców jest w tej klasie?

Krok 1. Obliczenie liczby dziewcząt. Dziewczęta stanowią 60% z 30 uczniów. Liczba dziewcząt $= 30 \cdot 60\% = 30 \cdot \frac{60}{100} = 30 \cdot 0.6 = 18$ .

Krok 2. Obliczenie liczby chłopców. Liczba chłopców = całkowita liczba uczniów - liczba dziewcząt. Liczba chłopców $= 30 - 18 = 12$ .

Alternatywne podejście: Krok 1. Obliczenie procentu chłopców. Jeśli 60% to dziewczęta, to chłopcy stanowią $100\% - 60\% = 40\%$ wszystkich uczniów.

Krok 2. Obliczenie liczby chłopców. Liczba chłopców $= 30 \cdot 40\% = 30 \cdot \frac{40}{100} = 30 \cdot 0.4 = 12$ .

Odpowiedź: W klasie jest 12 chłopców.

Błędne traktowanie kolejnych procentów: Przy podwyżce/obniżce najpierw obliczamy nową kwotę, a dopiero potem od niej liczymy kolejny procent. Nie można dodawać lub odejmować procentów od siebie, jeśli odnoszą się do różnych wielkości początkowych (np. obniżka o 10% i potem o 20% to nie jest obniżka o 30%).
Mylenie celu procentu: Należy uważać, czego dotyczy procent. Czy jest to procent z całości, czy jakaś jej część? Czy liczymy procent z liczby początkowej, czy z już zmienionej?
Błędy w zamianie procentów: Niepoprawne przesunięcie przecinka przy zamianie procentu na liczbę dziesiętną (np. $25\% = 0.025$ zamiast $0.25$ ) lub odwrotnie.
Zadania tekstowe – niezrozumienie kontekstu: Uważne przeczytanie zadania jest kluczowe. Czy szukamy wartości procentowej, procentu, czy liczby bazowej? Czego dotyczy pytanie?

Oblicz $35\%$ liczby 80.
Jaki procent liczby 120 stanowi liczba 30?
Tysiąc złotych wpłacono na lokatę oprocentowaną na 4% w skali roku. Po roku stan konta wynosił 1040 zł. Ile wynosiło oprocentowanie w stosunku do kwoty początkowej?
Cena gry komputerowej wynosiła 160 zł. Po obniżce cena gry wynosi 140 zł. O ile procent obniżono cenę gry?
Zapisz jako procent: a) 0.12, b) $\frac{3}{5}$ , c) 1.75.
W sklepie sportowym ogłoszono wyprzedaż - wszystkie ceny zostały obniżone o 25%. Kurtka kosztowała pierwotnie 240 zł. Ile kosztuje po obniżce?
W pewnej szkole 20% uczniów lubi matematykę, a 30% uczniów lubi język polski. Jaki procent uczniów lubi oba te przedmioty, jeśli wiadomo, że 40% uczniów nie lubi żadnego z tych przedmiotów? (Uwaga: to zadanie wymaga myślenia o dopełnieniu).

$80 \cdot 0.35 = 28$ .
$\frac{30}{120} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$ .
$\frac{1040 - 1000}{1000} \cdot 100\% = \frac{40}{1000} \cdot 100\% = 0.04 \cdot 100\% = 4\%$ .
Obniżka $= 160 - 140 = 20$ zł. Procentowa obniżka $= \frac{20}{160} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 12.5\%$ .
a) $12\%$ , b) $60\%$ , c) $175\%$ .
$240 \cdot (1 - 0.25) = 240 \cdot 0.75 = 180$ zł.
Jeśli 40% nie lubi żadnego, to $100\% - 40\% = 60\%$ lubi przynajmniej jeden z tych przedmiotów. Wiemy, że $20\% + 30\% = 50\%$ (suma uczniów lubiących matematykę i polski). Różnica $60\% - 50\% = 10\%$ to uczniowie, którzy lubią oba przedmioty (bo zostali policzeni dwukrotnie w sumie 50%). Odpowiedź: 10%.

Ile to jest $1\%$ liczby 500?
Jak zamienić $75\%$ na ułamek zwykły?
Jeśli cena wzrosła z 100 zł do 120 zł, to o ile procent wzrosła?
$10\%$ z $10\%$ z 1000 to ile?
Cenę 200 zł obniżono o 50%. Jaka jest nowa cena?

+---------------------+
|     Całość (100%)   |
+----------+----------+
| Część A  | Część B  |
| (np. 60%)| (np. 40%)|
+----------+----------+
   |
   V
+---------------------+
|  Obliczanie części |
|  (np. 60% z 50)     |
+---------------------+
   |
   V
+---------------------+
|    Wynik (30)       |
+---------------------+

Rozumienie pojęcia procentu jako części całości.
Zamiana procentów na ułamki i liczby dziesiętne oraz odwrotnie.
Obliczanie procentu danej liczby.
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent.
Obliczanie podwyżek i obniżek procentowych.
Procent składany (w ograniczonym zakresie, jako podwyżka/obniżka dwukrotna).
Zastosowanie procentów w zadaniach tekstowych.

Procent — jedna setna (1/100) pewnej wielkości. Symbol procentu to %.
- $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$
Zamiana procentów na ułamki i liczby dziesiętne:
- Aby zamienić procent na ułamek, dzielimy liczbę procentów przez 100.
  - $x\% = \frac{x}{100}$
- Aby zamienić procent na liczbę dziesiętną, przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo.
  - $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$
  - $150\% = \frac{150}{100} = 1.5$
  - $7\% = \frac{7}{100} = 0.07$
Zamiana ułamków i liczb dziesiętnych na procenty:
- Aby zamienić ułamek lub liczbę dziesiętną na procent, mnożymy przez 100 i dodajemy znak %.
  - $0.45 = 0.45 \cdot 100\% = 45\%$
  - $\frac{3}{4} = 0.75 = 0.75 \cdot 100\% = 75\%$
  - $1.2 = 1.2 \cdot 100\% = 120\%$
Obliczanie procentu danej liczby:
- Aby obliczyć $p\%$ $p %$ pewnej liczby $L$ $L$ , mnożymy liczbę $L$ $L$ przez $p\%$ $p %$ (zamienioną na ułamek lub liczbę dziesiętną).
  - Oblicz $20\%$ liczby 150.
  - Rozwiązanie: $20\% = 0.20$ . Wartość: $150 \cdot 0.20 = 30$ .
  - Alternatywnie: $150 \cdot \frac{20}{100} = 150 \cdot \frac{1}{5} = 30$ .
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba:
- Aby obliczyć, jakim procentem liczby $L_1$ $L_{1}$ jest liczba $L_2$ $L_{2}$ , dzielimy $L_2$ $L_{2}$ przez $L_1$ $L_{1}$ i mnożymy wynik przez 100%.
  - Jaki procent z 50 stanowi 10?
  - Rozwiązanie: $\frac{10}{50} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$ .
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent:
- Jeśli $p\%$ $p %$ pewnej liczby $L$ $L$ wynosi $W$ $W$ , to aby obliczyć liczbę $L$ $L$ , dzielimy $W$ $W$ przez $p\%$ $p %$ (zamienioną na ułamek lub liczbę dziesiętną).
  - Wiemy, że $30\%$ pewnej liczby wynosi 60. Jaka to liczba?
  - Rozwiązanie: $30\% = 0.30$ . Szukana liczba $L$ : $L = \frac{60}{0.30} = \frac{600}{3} = 200$ .
  - Alternatywnie: $L = 60 \div \frac{30}{100} = 60 \div \frac{3}{10} = 60 \cdot \frac{10}{3} = 20 \cdot 10 = 200$ .
Podwyżki i obniżki procentowe:
- Podwyżka o $p\%$ : Nowa cena/wartość = Cena/wartość początkowa $\cdot (1 + \frac{p}{100})$ $\cdot (1 + \frac{p}{100})$ .
  - Cena roweru 1200 zł została podwyższona o 10%. Jaka jest nowa cena?
  - $1200 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1200 \cdot (1 + 0.1) = 1200 \cdot 1.1 = 1320$ zł.
- Obniżka o $p\%$ : Nowa cena/wartość = Cena/wartość początkowa $\cdot (1 - \frac{p}{100})$ $\cdot (1 - \frac{p}{100})$ .
  - Cena bluzy 80 zł została obniżona o 25%. Jaka jest nowa cena?
  - $80 \cdot (1 - \frac{25}{100}) = 80 \cdot (1 - 0.25) = 80 \cdot 0.75 = 60$ zł.
Procent z procentu:
- Oblicz $50\%$ z $20\%$ liczby 100.
- $20\%$ ze 100 to $100 \cdot 0.20 = 20$ .
- $50\%$ z 20 to $20 \cdot 0.50 = 10$ .
- Krócej: $100 \cdot (\frac{20}{100}) \cdot (\frac{50}{100}) = 100 \cdot 0.2 \cdot 0.5 = 10$ .