Długość odcinka

Zadania dotyczące układu współrzędnych, w tym obliczanie długości odcinka, pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty co roku, zazwyczaj jako jedno lub dwa zadania zamknięte lub jako część zadania otwartego. Punkty do zdobycia to zazwyczaj 1-3, w zależności od stopnia trudności i kontekstu zadania. CKE lubi sprawdzać umiejętność stosowania wzoru na odległość między dwoma punktami oraz umiejętność interpretacji graficznej tego zagadnienia.

W tej lekcji opanujesz:

Zrozumienie pojęcia płaszczyzny kartezjańskiej i współrzędnych punktów.
Wprowadzenie i wyprowadzenie wzoru na długość odcinka o danych końcach.
Umiejętność stosowania wzoru na długość odcinka do obliczeń.
Rozwiązywanie zadań tekstowych związanych z długością odcinka.
Rozpoznawanie i rozwiązywanie zadań geometrycznych z wykorzystaniem płaszczyzny współrzędnych.
Ćwiczenie biegłości w stosowaniu twierdzenia Pitagorasa w kontekście współrzędnych.
Unikanie typowych błędów przy obliczaniu długości odcinka.

Płaszczyzna kartezjańska: Jest to płaszczyzna wyposażona w prostokątny układ współrzędnych. Składa się z dwóch prostopadłych osi liczbowych: osi poziomej (osi X, odciętych) i osi pionowej (osi Y, rzędnych). Ich punkt przecięcia to początek układu współrzędnych o współrzędnych (0, 0).
Współrzędne punktu: Każdy punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej można jednoznacznie określić za pomocą pary liczb rzeczywistych $(x, y)$ , gdzie $x$ to współrzędna pozioma (odcięta), a $y$ to współrzędna pionowa (rzędna).
Odcinek: Jest to fragment prostej zawierający dwa punkty końcowe i wszystkie punkty leżące między nimi.
Długość odcinka: Jest to odległość między jego dwoma końcami. Na płaszczyźnie kartezjańskiej, jeśli znamy współrzędne końców A i B odcinka, możemy obliczyć jego długość.
Wzór na długość odcinka: Niech punkt A ma współrzędne $(x_1, y_1)$ , a punkt B ma współrzędne $(x_2, y_2)$ . Długość odcinka AB, oznaczana jako $|AB|$ , można obliczyć za pomocą wzoru: $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ Wzór ten wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Rozważmy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek AB. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości równe wartościom bezwzględnym różnic współrzędnych punktów A i B: $|x_2 - x_1|$ oraz $|y_2 - y_1|$ . Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: $(|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2 = |AB|^2$ Ponieważ kwadrat liczby jest taki sam jak kwadrat jej wartości bezwzględnej ( $(a)^2 = (-a)^2 = |a|^2$ ), możemy napisać: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = |AB|^2$ Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron (pamiętając, że długość jest nieujemna), otrzymujemy wzór na długość odcinka.

Oblicz długość odcinka o końcach w punktach A = (2, 3) i B = (5, 7).

Krok 1. Zidentyfikuj współrzędne punktów A i B. $x_1 = 2$ , $y_1 = 3$ $x_2 = 5$ , $y_2 = 7$

Krok 2. Podstaw wartości do wzoru na długość odcinka. $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $|AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}$

Krok 3. Oblicz różnice we współrzędnych. $|AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$

Krok 4. Oblicz kwadraty różnic. $|AB| = \sqrt{9 + 16}$

Krok 5. Zsumuj kwadraty i oblicz pierwiastek. $|AB| = \sqrt{25}$ $|AB| = 5$

Sprawdzenie: Odcinek AB ma długość 5. Wyobrażając sobie punkty na siatce: od A do B przesuwamy się o 3 jednostki w prawo ( $5-2=3$ ) i o 4 jednostki w górę ( $7-3=4$ ). Tworzą one przyprostokątne trójkąta prostokątnego. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . $\sqrt{25} = 5$ . Wynik jest poprawny.

Oblicz długość odcinka łączącego punkty P = (-1, 4) i Q = (3, -2).

Krok 1. Zidentyfikuj współrzędne punktów P i Q. $x_1 = -1$ , $y_1 = 4$ $x_2 = 3$ , $y_2 = -2$

Krok 2. Podstaw wartości do wzoru na długość odcinka. Zwróć uwagę na znaki ujemne. $|PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $|PQ| = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2}$

Krok 3. Uprość wyrażenia w nawiasach, szczególnie te z odejmowaniem liczby ujemnej. $|PQ| = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-6)^2}$ $|PQ| = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2}$

Krok 4. Oblicz kwadraty. Pamiętaj, że kwadrat liczby ujemnej jest liczbą dodatnią. $|PQ| = \sqrt{16 + 36}$

Krok 5. Zsumuj kwadraty i oblicz pierwiastek. $|PQ| = \sqrt{52}$

Krok 6. Uprość pierwiastek, jeśli to możliwe. $52 = 4 \cdot 13$ , więc $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$ . $|PQ| = 2\sqrt{13}$

Sprawdzenie: Różnica współrzędnych x: $3 - (-1) = 4$ . Różnica współrzędnych y: $-2 - 4 = -6$ . Kwadraty: $4^2 = 16$ , $(-6)^2 = 36$ . Suma kwadratów: $16 + 36 = 52$ . $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ . Wynik jest poprawny.

Punkty A = (-5, -2) i B = (1, 6) są końcami odcinka. Oblicz długość tego odcinka.

Krok 1. Zidentyfikuj współrzędne punktów A i B. $x_1 = -5$ , $y_1 = -2$ $x_2 = 1$ , $y_2 = 6$

Krok 2. Podstaw wartości do wzoru na długość odcinka. $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $|AB| = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (6 - (-2))^2}$

Krok 3. Uprość wyrażenia w nawiasach. $|AB| = \sqrt{(1 + 5)^2 + (6 + 2)^2}$ $|AB| = \sqrt{(6)^2 + (8)^2}$

Krok 4. Oblicz kwadraty. $|AB| = \sqrt{36 + 64}$

Krok 5. Zsumuj i oblicz pierwiastek. $|AB| = \sqrt{100}$ $|AB| = 10$

Sprawdzenie: Różnica x: $1 - (-5) = 6$ . Różnica y: $6 - (-2) = 8$ . Kwadraty: $6^2 = 36$ , $8^2 = 64$ . Suma: $36 + 64 = 100$ . $\sqrt{100} = 10$ . Wynik poprawny. W tym przypadku otrzymaliśmy trójkąt o przyprostokątnych 6 i 8, co jest skalowaniem trójkąta "3-4-5" ( $2 \cdot 3, 2 \cdot 4, 2 \cdot 5$ ).

Błędy ze znakami: Najczęstsze błędy pojawiają się przy odejmowaniu współrzędnych, zwłaszcza gdy jedna lub obie są ujemne. Pamiętaj, że $a - (-b) = a + b$ .
Zapominanie o kwadratach: Wzór wymaga podniesienia różnic współrzędnych do kwadratu. Pominięcie tego kroku prowadzi do błędnego wyniku (np. obliczanie $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}$ ).
Kolejność punktów: Kolejność punktów A i B we wzorze nie ma znaczenia, ponieważ $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ i $(y_2 - y_1)^2 = (y_1 - y_2)^2$ . Ważne jest tylko, aby konsekwentnie odejmować współrzędne w tej samej kolejności dla obu osi.
Błędy w obliczeniach pierwiastka: Po zsumowaniu kwadratów należy poprawnie obliczyć pierwiastek. Jeśli wynik nie jest liczbą całkowitą, warto sprawdzić, czy można go uprościć (np. $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ ).
Nie stosowanie wartości bezwzględnej: Choć w praktyce często pomija się wartość bezwzględną, bo podnosimy do kwadratu, to formalnie odległość między $x_1$ i $x_2$ to $|x_1 - x_2|$ . Kwadrat i tak to eliminuje, ale warto pamiętać o koncepcji.

Oblicz długość odcinka o końcach w punktach C = (1, 2) i D = (4, 6).
Wyznacz długość odcinka o końcach E = (-3, 1) i F = (2, -3).
Punkt G ma współrzędne (-2, -5), a punkt H ma współrzędne (0, -1). Oblicz długość odcinka GH.
Dany jest odcinek o końcach K = (5, -4) i L = (-7, 2). Oblicz jego długość.
Oblicz odległość między punktami M = ( $\frac{1}{2}$ , 1) i N = ( $\frac{3}{2}$ , 3).
Punkty P = (0, 0) i Q = (-4, 3) są początkiem i końcem odcinka. Oblicz długość odcinka PQ.
Trójkąt ABC ma wierzchołki w punktach A = (1, 1), B = (4, 1) i C = (4, 5). Oblicz długości boków AB i BC.

$|CD| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
$|EF| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(2+3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{5^2 + 16} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$ .
$|GH| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{(0+2)^2 + (-1+5)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
$|KL| = \sqrt{(-7 - 5)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (2+4)^2} = \sqrt{144 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ .
$|MN| = \sqrt{(\frac{3}{2} - \frac{1}{2})^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{1^2 + 4} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ .
$|PQ| = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ .
Długość boku AB: $|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$ . Długość boku BC: $|BC| = \sqrt{(4-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ .

Jakie są współrzędne początku układu kartezjańskiego?
Podaj wzór na długość odcinka o końcach $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ .
Co się stanie ze znakiem liczby po jej podniesieniu do kwadratu?
Czy kolejność punktów we wzorze na długość odcinka ma znaczenie dla wyniku?
Co oznacza uproszczenie pierwiastka $\sqrt{50}$ do $5\sqrt{2}$ ?

       ^ Y
       |
       |     B(x2, y2)
       |    /|
       |   / |
       |  /  | y2-y1
       | /   |
       |/    |
A(x1, y1)-----
       |  x2-x1
-------+----------------> X
       |

W tej lekcji opanujesz:

Zrozumienie pojęcia płaszczyzny kartezjańskiej i współrzędnych punktów.
Wprowadzenie i wyprowadzenie wzoru na długość odcinka o danych końcach.
Umiejętność stosowania wzoru na długość odcinka do obliczeń.
Rozwiązywanie zadań tekstowych związanych z długością odcinka.
Rozpoznawanie i rozwiązywanie zadań geometrycznych z wykorzystaniem płaszczyzny współrzędnych.
Ćwiczenie biegłości w stosowaniu twierdzenia Pitagorasa w kontekście współrzędnych.
Unikanie typowych błędów przy obliczaniu długości odcinka.

Płaszczyzna kartezjańska: Jest to płaszczyzna wyposażona w prostokątny układ współrzędnych. Składa się z dwóch prostopadłych osi liczbowych: osi poziomej (osi X, odciętych) i osi pionowej (osi Y, rzędnych). Ich punkt przecięcia to początek układu współrzędnych o współrzędnych (0, 0).
Współrzędne punktu: Każdy punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej można jednoznacznie określić za pomocą pary liczb rzeczywistych $(x, y)$ , gdzie $x$ to współrzędna pozioma (odcięta), a $y$ to współrzędna pionowa (rzędna).
Odcinek: Jest to fragment prostej zawierający dwa punkty końcowe i wszystkie punkty leżące między nimi.
Długość odcinka: Jest to odległość między jego dwoma końcami. Na płaszczyźnie kartezjańskiej, jeśli znamy współrzędne końców A i B odcinka, możemy obliczyć jego długość.
Wzór na długość odcinka: Niech punkt A ma współrzędne $(x_1, y_1)$ , a punkt B ma współrzędne $(x_2, y_2)$ . Długość odcinka AB, oznaczana jako $|AB|$ , można obliczyć za pomocą wzoru: $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ Wzór ten wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Rozważmy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek AB. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości równe wartościom bezwzględnym różnic współrzędnych punktów A i B: $|x_2 - x_1|$ oraz $|y_2 - y_1|$ . Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: $(|x_2 - x_1|)^2 + (|y_2 - y_1|)^2 = |AB|^2$ Ponieważ kwadrat liczby jest taki sam jak kwadrat jej wartości bezwzględnej ( $(a)^2 = (-a)^2 = |a|^2$ ), możemy napisać: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = |AB|^2$ Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron (pamiętając, że długość jest nieujemna), otrzymujemy wzór na długość odcinka.