Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa pojawia się na maturze bardzo często, zazwyczaj w zadaniach otwartych (na 4 lub 6 punktów) lub jako element zadań zamkniętych. CKE lubi sprawdzać umiejętność badania własności funkcji (monotoniczność, miejsca zerowe, wierzchołek), szkicowanie wykresu, rozwiązywanie nierówności kwadratowych oraz zastosowania w zadaniach optymalizacyjnych lub geometrycznych.

W tej lekcji opanujesz:

1. Definicję funkcji kwadratowej i jej ogólny wzór.
2. Własności funkcji kwadratowej: ramiona, miejsca zerowe, wierzchołek.
3. Sposoby obliczania miejsc zerowych: delta.
4. Wzory na współrzędne wierzchołka paraboli.
5. Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej.
6. Wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.
7. Określanie monotoniczności funkcji kwadratowej.
8. Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych z zastosowaniem funkcji kwadratowej.

• Definicja funkcji kwadratowej: Funkcję kwadratową w postaci ogólnej opisuje wzór: $f(x) = ax^2 + bx + c$ gdzie $a, b, c$ są współczynnikami liczbowymi, a $a \neq 0$.
  • $ax^2$ – człon kwadratowy
  • $bx$ – człon liniowy
  • $c$ – wyraz wolny
• Wykres funkcji kwadratowej: Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
  • Jeśli $a > 0$, ramiona paraboli są skierowane do góry.
  • Jeśli $a < 0$, ramiona paraboli są skierowane do dołu.
• Miejsca zerowe: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to wartości $x$, dla których $f(x) = 0$. Obliczamy je, rozwiązując równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$.
  • Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę): $\Delta = b^2 - 4ac$
  • W zależności od wartości $\Delta$:
    • Jeśli $\Delta > 0$, istnieją dwa różne miejsca zerowe $x_1, x_2$: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
    • Jeśli $\Delta = 0$, istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe (zwane podwójnym) $x_0$: $x_0 = \frac{-b}{2a}$
    • Jeśli $\Delta < 0$, nie istnieją miejsca zerowe (funkcja nie przecina osi OX).
• Wierzchołek paraboli: Wierzchołek paraboli $W = (p, q)$ ma współrzędne: $p = \frac{-b}{2a}$ $q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$
  • Współrzędna $p$ jest osią symetrii paraboli.
  • Wierzchołek jest najniższym punktem paraboli (dla $a>0$) lub najwyższym (dla $a<0$).
• Zbiór wartości:
  • Dla $a > 0$: Zbiorem wartości jest przedział $[q, +\infty)$, gdzie $q$ to współrzędna $y$ wierzchołka.
  • Dla $a < 0$: Zbiorem wartości jest przedział $(-\infty, q]$, gdzie $q$ to współrzędna $y$ wierzchołka.
• Monotoniczność:
  • Dla $a > 0$:
    • Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, p]$.
    • Funkcja jest rosnąca w przedziale $[p, +\infty)$.
  • Dla $a < 0$:
    • Funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, p]$.
    • Funkcja jest malejąca w przedziale $[p, +\infty)$.
• Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2 + q$ gdzie $(p, q)$ to współrzędne wierzchołka.
• Postać iloczynowa (jeśli istnieją miejsca zerowe $x_1, x_2$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = x^2 - 4x + 3$. a) Określ współczynniki $a, b, c$. b) Ustal, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. c) Oblicz miejsca zerowe. d) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli. e) Naszkicuj wykres funkcji. f) Podaj zbiór wartości funkcji. g) Określ przedziały monotoniczności.

Rozwiązanie:

Krok 1. Określenie współczynników i kierunku ramion. Porównujemy wzór funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 3$ z postacią ogólną $ax^2 + bx + c$. $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$. Ponieważ $a = 1 > 0$, ramiona paraboli są skierowane do góry.

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych. Obliczamy deltę: $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Ponieważ $\Delta > 0$, obliczamy dwa miejsca zerowe: $\sqrt{\Delta} = \sqrt{4} = 2$. $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) - 2}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Miejsca zerowe to $x=1$ i $x=3$.

Krok 3. Obliczenie współrzędnych wierzchołka. Obliczamy $p$: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$. Obliczamy $q$: $q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-4}{4 \cdot 1} = \frac{-4}{4} = -1$. Możemy też obliczyć $q$ jako $f(p)$: $q = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Wierzchołek paraboli $W = (2, -1)$.

Krok 4. Szkicowanie wykresu. Zaznaczamy miejsca zerowe na osi OX (punkty (1,0) i (3,0)). Zaznaczamy wierzchołek (punkt (2,-1)). Rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty, z ramionami skierowanymi do góry i symetryczną względem prostej $x=2$. Punkt przecięcia z osią OY to $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$, czyli punkt (0,3).

Krok 5. Podanie zbioru wartości. Ponieważ $a=1>0$ i $q=-1$, zbiorem wartości funkcji jest przedział $[q, +\infty)$, czyli $[-1, +\infty)$.

Krok 6. Określenie przedziałów monotoniczności. Ponieważ $a=1>0$ i $p=2$: Funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 2]$. Funkcja jest rosnąca w przedziale $[2, +\infty)$.

Sprawdzenie: Wzór funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 3$. $a=1, b=-4, c=3$. Ramiona w górę ($a>0$). Miejsca zerowe: $x_1=1, x_2=3$. (1,0), (3,0) na wykresie. Wierzchołek: $p=2, q=-1$. $W=(2,-1)$. Punkt najniższy. Zbiór wartości: $[-1, +\infty)$. Monotoniczność: malejąca $(-\infty, 2]$, rosnąca $[2, +\infty)$. Wszystko się zgadza.

Dana jest funkcja $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$. a) Oblicz miejsca zerowe funkcji i zapisz jej postać iloczynową. b) Oblicz współrzędne wierzchołka i zapisz postać kanoniczną funkcji. c) Naszkicuj wykres funkcji, zaznaczając jej wierzchołek, miejsca zerowe oraz punkt przecięcia z osią OY. d) Podaj zbiór wartości funkcji. e) Dla jakich argumentów $x$ funkcja przyjmuje wartości większe od 0?

Rozwiązanie:

Krok 1. Miejsca zerowe i postać iloczynowa. $a = -2$, $b = 8$, $c = -6$. $\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-6) = 64 - 48 = 16$. $\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4$. $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - 4}{2 \cdot (-2)} = \frac{-12}{-4} = 3$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + 4}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$. Miejsca zerowe to $x=1$ i $x=3$. Postać iloczynowa: $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = -2(x-3)(x-1)$.

Krok 2. Wierzchołek i postać kanoniczna. $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2$. $q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-16}{4 \cdot (-2)} = \frac{-16}{-8} = 2$. Wierzchołek $W = (2, 2)$. Postać kanoniczna: $f(x) = a(x-p)^2 + q = -2(x-2)^2 + 2$.

Krok 3. Szkicowanie wykresu.

• Ramiona paraboli skierowane są w dół ($a=-2 < 0$).
• Miejsca zerowe: $x=1$ i $x=3$. Punkty $(1, 0)$ i $(3, 0)$.
• Wierzchołek: $W=(2, 2)$.
• Punkt przecięcia z osią OY: $f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 6 = -6$. Punkt $(0, -6)$. Szkicujemy parabolę przechodzącą przez te punkty.

Krok 4. Zbiór wartości. Ponieważ $a=-2<0$ i $q=2$, zbiorem wartości jest przedział $(-\infty, q]$, czyli $(-\infty, 2]$.

Krok 5. Rozwiązanie nierówności $f(x) > 0$. Szukamy argumentów $x$, dla których wykres funkcji znajduje się nad osią OX. Z miejsc zerowych $x=1$ i $x=3$ oraz faktu, że ramiona są skierowane w dół, wynika, że funkcja jest dodatnia między miejscami zerowymi. Rozwiązaniem nierówności $f(x) > 0$ jest przedział $(1, 3)$.

Sprawdzenie: Postać iloczynowa: $-2(x-3)(x-1) = -2(x^2 - x - 3x + 3) = -2(x^2 - 4x + 3) = -2x^2 + 8x - 6$. Zgadza się. Postać kanoniczna: $-2(x-2)^2 + 2 = -2(x^2 - 4x + 4) + 2 = -2x^2 + 8x - 8 + 2 = -2x^2 + 8x - 6$. Zgadza się. Wierzchołek $(2,2)$: $f(2) = -2(2-2)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$. Zgadza się. Miejsca zerowe $1, 3$: $f(1) = -2(1)^2 + 8(1) - 6 = -2+8-6=0$. $f(3) = -2(3)^2 + 8(3) - 6 = -18+24-6=0$. Zgadza się. Zbiór wartości $(-\infty, 2]$. Potwierdzone przez wierzchołek. Dla $x \in (1, 3)$, np. $x=2$, $f(2)=2>0$.

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne o długościach $x$ cm i $(10-x)$ cm. Oblicz pole tego trójkąta jako funkcję zmiennej $x$ i określ dziedzinę tej funkcji. Dla jakiej długości boku $x$ pole tego trójkąta jest największe?

Rozwiązanie:

Krok 1. Zapisanie wzoru na pole trójkąta. Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu długości jego przyprostokątnych. $P(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (10-x)$.

Krok 2. Uporządkowanie wzoru i określenie dziedziny. $P(x) = \frac{1}{2} (10x - x^2) = 5x - \frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$. Jest to funkcja kwadratowa, gdzie $a = -\frac{1}{2}$, $b = 5$, $c = 0$. Długości boków muszą być dodatnie. $x > 0$ $10 - x > 0 \implies x < 10$. Zatem dziedziną funkcji $P(x)$ jest przedział $(0, 10)$.

Krok 3. Znalezienie argumentu maksymalizującego pole. Szukamy argumentu $x$, dla którego funkcja $P(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$ przyjmuje największą wartość. Ponieważ współczynnik $a = -\frac{1}{2} < 0$, ramiona paraboli są skierowane w dół, a największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku. Obliczamy współrzędną $p$ wierzchołka: $p = \frac{-b}{2a} = \frac{-5}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{-5}{-1} = 5$. Argument $x=5$ należy do dziedziny $(0, 10)$.

Krok 4. Obliczenie maksymalnego pola (nie jest wymagane, ale warto wiedzieć). Maksymalne pole: $P(5) = -\frac{1}{2}(5)^2 + 5 \cdot 5 = -\frac{1}{2} \cdot 25 + 25 = -12.5 + 25 = 12.5$.

Odpowiedź: Pole trójkąta jako funkcja $x$ to $P(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$. Dziedzina funkcji to $x \in (0, 10)$. Pole jest największe dla $x = 5$ cm.

• Znak współczynnika $a$: Zapominanie o znaku $a$ przy określaniu kierunku ramion lub przy obliczaniu $q$ lub przy stosowaniu postaci iloczynowej. Pamiętaj: $a>0$ ramiona w górę, $a<0$ ramiona w dół.
• Wzory na wierzchołek: Mylenie wzorów na $p$ i $q$, lub nieprawidłowe podstawianie znaków ze wzoru $ax^2+bx+c$. Zawsze sprawdzaj znaki, np. $-b$ jest inne niż $b$.
• Obliczanie delty: Błędy rachunkowe przy obliczaniu $\Delta = b^2 - 4ac$, zwłaszcza przy ujemnych współczynnikach (np. $(-4)^2=16$, a nie $-16$).
• Dziedzina funkcji: W zadaniach tekstowych często występuje ograniczenie dziedziny (np. długości boków muszą być dodatnie). Nie można analizować funkcji poza jej dziedziną.
• Miejsca zerowe a funkcja: Pamiętaj, że miejsca zerowe to wartości $x$, dla których $f(x)=0$. Nie są to punkty przecięcia z osią OY.

1. Dana jest funkcja $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$. a) Podaj współczynniki $a, b, c$. b) Oblicz miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka. c) Podaj zbiór wartości i przedziały monotoniczności.

2. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (m-1)x^2 + 4x - 5$ jest funkcją kwadratową?

3. Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma miejsca zerowe $x_1 = -2$ i $x_2 = 4$. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $(1, -9)$. Zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej.

4. Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = -x^2 + 2x + 3$. Podaj jej zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności.

5. Znajdź największą wartość funkcji $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

6. Prostokąt ma boki o długościach $x$ oraz $12-x$. Wyznacz funkcję $P(x)$ opisującą pole tego prostokąta i określ jej dziedzinę. Znajdź wymiary prostokąta o największym polu.

7. Rozwiąż nierówność kwadratową: $-x^2 + 5x - 6 \ge 0$.

1. Jaki jest wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej?
2. Jak określamy kierunek ramion paraboli?
3. Jakie są wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
4. Podaj wzory na współrzędne wierzchołka paraboli.
5. Jak zależy zbiór wartości funkcji kwadratowej od współczynnika $a$?

      ^ y
      |       * W(p,q)
      |      / \
      |     /   \
------+----*-----*------- > x
     x1   |     x2
          |
          |