Funkcja liniowa

Funkcja liniowa pojawia się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym dosyć często, zazwyczaj w zadaniach otwartych, gdzie można uzyskać od 2 do 4 punktów. CKE lubi sprawdzać rozumienie pojęć takich jak współczynnik kierunkowy i wyraz wolny, umiejętność rysowania wykresu funkcji, znajdowania miejsc zerowych, określania monotoniczności oraz rozwiązywania prostych zadań tekstowych i geometrycznych związanych z prostymi. Często zadania dotyczą interpretacji geometrycznej rozwiązań układów równań liniowych lub analizy położenia prostych na płaszczyźnie (równoległość, prostopadłość).

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

1. Zdefiniować funkcję liniową i podać jej ogólną postać.
2. Rozpoznać i zinterpretować współczynniki $a$ (współczynnik kierunkowy) i $b$ (wyraz wolny) w równaniu funkcji liniowej.
3. Określić monotoniczność funkcji liniowej (rosnąca, malejąca, stała) na podstawie współczynnika $a$.
4. Wyznaczyć punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osiami układu współrzędnych (oś $OY$ i oś $OX$).
5. Obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej.
6. Naszkicować wykres funkcji liniowej w układzie współrzędnych.
7. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
8. Zastosować wiedzę o funkcjiach liniowych do rozwiązywania zadań tekstowych i geometrycznych.

• Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem postaci: $f(x) = ax + b$ gdzie $a$ i $b$ są stałymi liczbami rzeczywistymi ($a, b \in \mathbb{R}$). Dziedziną i zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych ($\mathbb{R}$).

• Wykres funkcji liniowej to linia prosta.

• Współczynnik kierunkowy ($a$):

  • Określa nachylenie prostej względem osi $OX$.
  • Decyduje o monotoniczności funkcji:
    • Jeśli $a > 0$, funkcja jest rosnąca.
    • Jeśli $a < 0$, funkcja jest malejąca.
    • Jeśli $a = 0$, funkcja jest stała ($f(x) = b$). Jej wykres jest prostą poziomą.

• Wyraz wolny ($b$):

  • Jest to wartość funkcji dla argumentu $x=0$, czyli $f(0) = a \cdot 0 + b = b$.
  • Określa punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $OY$. Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, b)$.

• Miejsce zerowe funkcji liniowej:

  • Jest to taki argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi 0, czyli $f(x) = 0$.
  • Aby je obliczyć, rozwiązujemy równanie: $ax + b = 0$ $ax = -b$ Jeśli $a \neq 0$, to miejsce zerowe wynosi: $x = -\frac{b}{a}$
  • Miejsce zerowe geometrycznie oznacza punkt przecięcia wykresu funkcji z osią $OX$. Jest to punkt $(-\frac{b}{a}, 0)$.
  • Jeśli $a = 0$ i $b \neq 0$, funkcja jest stała ($f(x)=b$) i nie ma miejsca zerowego (wykres jest prostą poziomą różną od osi $OX$).
  • Jeśli $a = 0$ i $b = 0$, funkcja jest stała ($f(x)=0$) i każdym argumentem jest miejscem zerowym (wykres pokrywa się z osią $OX$).

• Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty $A = (x_1, y_1)$ i $B = (x_2, y_2)$:

  • Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy $a$ ze wzoru: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (zakładamy, że $x_1 \neq x_2$).
  • Następnie, korzystając z jednego z punktów (np. $A$) i obliczonego $a$, wyznaczamy $b$ z równania $y_1 = ax_1 + b$. $b = y_1 - ax_1$
  • Ostatecznie zapisujemy równanie prostej $y = ax + b$.

• Proste równoległe: Dwie proste o równaniach $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są równoległe, jeśli mają równe współczynniki kierunkowe: $a_1 = a_2$ (i różne wyraz wolny $b_1 \neq b_2$, w przeciwnym razie proste są identyczne).

• Proste prostopadłe: Dwie proste o równaniach $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$: $a_1 \cdot a_2 = -1$ (zakładamy, że żadna z prostych nie jest pionowa, co w przypadku funkcji liniowej zawsze ma miejsce, gdyż $a$ jest liczbą rzeczywistą).

Dana jest funkcja liniowa $f(x) = 2x - 4$. a) Określ monotoniczność tej funkcji. b) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $OY$. c) Oblicz miejsce zerowe funkcji. d) Naszkicuj wykres tej funkcji.

Rozwiązanie:

• Krok 1: Analiza współczynników. W równaniu $f(x) = 2x - 4$, mamy $a = 2$ i $b = -4$.

• Krok 2: Określenie monotoniczności. Ponieważ $a = 2 > 0$, funkcja jest rosnąca.

• Krok 3: Znalezienie punktu przecięcia z osią OY. Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0, b)$. W tym przypadku jest to punkt $(0, -4)$.

• Krok 4: Obliczenie miejsca zerowego. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$: $2x - 4 = 0$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$ Miejsce zerowe wynosi 2. Wykres przecina oś $OX$ w punkcie $(2, 0)$.

• Krok 5: Szkicowanie wykresu. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Aby go narysować, wystarczy zaznaczyć dwa punkty. Znamy już dwa punkty leżące na wykresie:

  • Punkt przecięcia z $OY$: $(0, -4)$
  • Miejsce zerowe (punkt przecięcia z $OX$): $(2, 0)$ Zaznaczamy te dwa punkty w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.

Sprawdzenie: Podstawiamy wartości do wzoru: $f(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4$ (zgadza się z punktem $(0, -4)$) $f(2) = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0$ (zgadza się z miejscem zerowym $x=2$) Współczynnik $a=2$ jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca. Wszystko się zgadza.

Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkty $A = (-1, 5)$ i $B = (3, -7)$. Czy ta prosta jest prostopadła do prostej o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 1$?

Rozwiązanie:

• Krok 1: Obliczenie współczynnika kierunkowego ($a$) Używamy wzoru $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ dla punktów $A = (-1, 5)$ (czyli $x_1 = -1, y_1 = 5$) i $B = (3, -7)$ (czyli $x_2 = 3, y_2 = -7$). $a = \frac{-7 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-12}{3 + 1} = \frac{-12}{4} = -3$ Współczynnik kierunkowy wynosi $a = -3$.

• Krok 2: Obliczenie wyrazu wolnego ($b$) Używamy znalezionego współczynnika $a = -3$ oraz współrzędnych jednego z punktów, np. $A=(-1, 5)$. Podstawiamy do wzoru $y = ax + b$: $5 = (-3) \cdot (-1) + b$ $5 = 3 + b$ $b = 5 - 3$ $b = 2$ Wyraz wolny wynosi $b = 2$.

• Krok 3: Zapisanie równania prostej. Równanie szukanej prostej ma postać $y = ax + b$. Podstawiając obliczone wartości $a = -3$ i $b = 2$, otrzymujemy: $y = -3x + 2$

• Krok 4: Sprawdzenie prostopadłości. Mamy prostą o równaniu $y = -3x + 2$. Jej współczynnik kierunkowy to $a_1 = -3$. Druga prosta ma równanie $y = \frac{1}{2}x + 1$. Jej współczynnik kierunkowy to $a_2 = \frac{1}{2}$. Aby sprawdzić, czy proste są prostopadłe, obliczamy iloczyn ich współczynników kierunkowych: $a_1 \cdot a_2 = (-3) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ Ponieważ iloczyn $a_1 \cdot a_2 = -\frac{3}{2} \neq -1$, proste nie są prostopadłe.

Sprawdzenie: Podstawmy punkty do równania $y = -3x + 2$: Dla punktu $A=(-1, 5)$: $5 = -3(-1) + 2 = 3 + 2 = 5$. Zgadza się. Dla punktu $B=(3, -7)$: $-7 = -3(3) + 2 = -9 + 2 = -7$. Zgadza się. Warunek prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$ jest niespełniony, bo $-\frac{3}{2} \neq -1$.

Funkcja liniowa $f(x) = (m-1)x + 5$ jest malejąca. Wyznacz wszystkie możliwe wartości parametru $m$.

Rozwiązanie:

• Krok 1: Zapisanie warunku malejącości. Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny ($a < 0$).

• Krok 2: Zidentyfikowanie współczynnika kierunkowego. W naszej funkcji $f(x) = (m-1)x + 5$, współczynnikiem kierunkowym jest wyrażenie przy $x$, czyli $a = m-1$.

• Krok 3: Zapisanie nierówności. Warunek malejącości ($a < 0$) przyjmuje postać: $m - 1 < 0$

• Krok 4: Rozwiązanie nierówności. Dodajemy 1 do obu stron nierówności: $m < 1$

• Krok 5: Podanie odpowiedzi. Funkcja jest malejąca, gdy $m < 1$. Zatem możliwe wartości parametru $m$ to wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od 1.

Sprawdzenie: Weźmy jakąś wartość $m < 1$, np. $m = 0$. Wtedy $f(x) = (0-1)x + 5 = -x + 5$. Współczynnik $a = -1 < 0$, więc funkcja jest malejąca. Weźmy jakąś wartość $m > 1$, np. $m = 2$. Wtedy $f(x) = (2-1)x + 5 = x + 5$. Współczynnik $a = 1 > 0$, funkcja jest rosnąca. Weźmy $m = 1$. Wtedy $f(x) = (1-1)x + 5 = 5$. Funkcja jest stała ($a=0$). Wynik $m < 1$ jest poprawny.

• Mylenie miejsc zerowych z punktem przecięcia z osią OY: Miejsce zerowe to $x$, dla którego $f(x)=0$. Punkt przecięcia z $OY$ to zawsze $(0, b)$.
• Błędy w obliczeniach ze znakiem minus: Szczególnie przy odejmowaniu współrzędnych punktów ($y_2 - y_1$, $x_2 - x_1$) lub przy obliczaniu $b$ ($b = y - ax$). Minusy lubią sprawiać kłopoty.
• Niewłaściwa interpretacja współczynnika $a$: Zapominanie, że $a>0$ oznacza funkcję rosnącą, a $a<0$ – malejącą. Szczególnie ważne w zadaniach z parametrem.
• Brak sprawdzenia warunku prostopadłości/równoległości: Pamiętaj, że proste są równoległe, gdy $a_1=a_2$, a prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$. Nie wystarczy tylko obliczyć $a_1$ i $a_2$.
• Dzielenie przez zero: Wzór na $a$ ($a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$) jest niezdefiniowany dla $x_1 = x_2$. Oznacza to, że punkty leżą na prostej pionowej, która nie jest wykresem funkcji liniowej (funkcja musi przyporządkować każdemu $x$ dokładnie jedno $y$). W kontekście funkcji liniowej nie występuje taka sytuacja, ale warto o tym pamiętać przy innych tematach.

1. Dana jest funkcja $f(x) = -3x + 6$. a) Określ jej monotoniczność. b) Podaj współrzędne punktu przecięcia z osią $OY$. c) Oblicz miejsce zerowe. d) Naszkicuj wykres.

2. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $P = (2, -1)$ i $Q = (-4, 5)$.

3. Funkcja liniowa $g(x) = \frac{1}{4}x + 2$ jest: A. Rosnąca, przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 2)$. B. Malejąca, przecina oś $OX$ w punkcie $(-8, 0)$. C. Rosnąca, ma miejsce zerowe $x = -8$. D. Malejąca, ma miejsce zerowe $x = 8$.

4. Prosta o równaniu $y = 2x - 1$ i prosta o równaniu $y = -\frac{1}{2}x + 3$ są: A. Równoległe B. Prostopadłe C. Mają ten sam punkt przecięcia z osią $OY$ D. Mają ten sam punkt przecięcia z osią $OX$

5. Wyznacz parametr $k$, dla którego funkcja liniowa $f(x) = (2k - 1)x - 4$ jest stała.

6. Oblicz miejsce zerowe funkcji $h(x) = 5x + 10$. Następnie sprawdź, czy punkt $(1, 15)$ leży na wykresie tej funkcji.

7. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt $(1, 7)$ i prostopadłej do prostej $y = -\frac{1}{3}x + 2$.

1. Jaki jest ogólny wzór funkcji liniowej?
2. Co oznacza współczynnik $a$ we wzorze funkcji liniowej?
3. W jaki sposób określamy, czy funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca czy stała?
4. Gdzie wykres funkcji liniowej $y = ax + b$ przecina oś $OY$?
5. Jaki warunek muszą spełniać współczynniki kierunkowe dwóch prostych, aby były one prostopadłe?

     ^ Y
     |
     |      /
     |     /  (a>0, rosnąca)
     |    /
-----|---/-----> X
     |  /| (0,b)
     | / |
     |/  | (miejsce zerowe x=-b/a)
    /|
   / | (a<0, malejąca)
  /  |