Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza opisuje szybki wzrost lub spadek, dlatego CKE łączy ją z procentem składanym, skalą i zmianami w czasie. W zadaniach trzeba rozpoznać podstawę, obliczyć wartość funkcji, odczytać monotoniczność i rozwiązać proste równanie o tej samej podstawie.

1. Rozpoznasz postać $f(x)=a^x$.
2. Obliczysz wartości dla całkowitych argumentów.
3. Określisz, czy funkcja rośnie, czy maleje.
4. Rozwiążesz równanie przez porównanie wykładników.
5. Zinterpretujesz wzrost i spadek w zadaniu praktycznym.

Funkcja wykładnicza ma postać $f(x)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne1$. Dla $a>1$ jest rosnąca, a dla $0<a<1$ — malejąca. Zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$, bo $a^0=1$.

Podstawowe prawa potęg: $a^u\cdot a^v=a^{u+v}$, $\frac{a^u}{a^v}=a^{u-v}$ oraz $(a^u)^v=a^{uv}$. Jeśli $a>0$, $a\ne1$ i $a^u=a^v$, to $u=v$. W modelu wzrostu $P(t)=P_0\cdot a^t$ podstawa większa od $1$ oznacza wzrost, a podstawa między $0$ i $1$ — spadek.

Dla $f(x)=2^x$ oblicz $f(4)$ oraz $f(-2)$. Mamy $f(4)=2^4=16$. Ponadto $f(-2)=2^{-2}=\frac1{2^2}=\frac14$. Funkcja rośnie, bo podstawa $2$ jest większa od $1$.

Rozwiąż $3^{x+1}=81$. Zapisujemy $81=3^4$, więc $3^{x+1}=3^4$. Podstawy są takie same i większe od zera, zatem $x+1=4$, czyli $x=3$. W zadaniu o wzroście analogicznie porównuje się potęgi po zapisaniu liczb w tej samej podstawie.

• Nie myl $a^x$ z $a\cdot x$.
• Wartość $a^0$ wynosi $1$, a nie $0$.
• Przy podstawie z przedziału $(0,1)$ funkcja maleje.
• Przed porównaniem wykładników sprowadź obie strony do tej samej podstawy.
• Ujemny wykładnik daje odwrotność: $a^{-n}=1/a^n$.

1. Oblicz $5^3$.
2. Oblicz $2^{-3}$.
3. Rozwiąż $2^x=32$.
4. Określ, czy $f(x)=(1/3)^x$ rośnie, czy maleje.
5. Rozwiąż $4^{x-1}=16$.
6. Kapitał rośnie według $P(t)=1000\cdot1{,}05^t$. Zapisz kwotę po 2 latach.

1. Jaki warunek spełnia podstawa funkcji wykładniczej?
2. Kiedy funkcja wykładnicza rośnie?
3. Ile wynosi $a^0$?
4. Jak rozwiązać równanie $a^u=a^v$?
5. Co oznacza podstawa $1+r$ w modelu wzrostu?

f(x)=a^x
  a>1  → wzrost
  0<a<1 → spadek
       ↓
  ta sama podstawa
       ↓
  porównaj wykładniki