Własności funkcji i wykres

Zagadnienia dotyczące własności funkcji oraz odczytywania informacji z ich wykresów pojawiają się na maturze podstawowej regularnie, zazwyczaj jako zadanie otwarte lub element zadań zamkniętych. Przeważnie są to zadania punktujące od 2 do 4 punktów. CKE lubi sprawdzać rozumienie pojęć takich jak: monotoniczność (rosnąca, malejąca), wartości ekstremalne (najmniejsza, największa), zbiór wartości, miejsca zerowe, a także interpretację graficzną tych własności.

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

Zrozumieć definicję funkcji i jej podstawowe pojęcia (dziedzina, zbiór wartości).
Rozpoznawać na wykresie miejsca zerowe funkcji.
Określać przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.
Znajdować na wykresie wartość największą i najmniejszą funkcji w danym przedziale.
Odczytywać z wykresu wartości funkcji dla konkretnych argumentów.
Wyznaczać z wykresu zbiór wartości funkcji.
Rozumieć, jak przesunięcia wykresu wpływają na własności funkcji.

Funkcja: Przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru $X$ (dziedziny) odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ (przeciwdziedziny). Oznaczamy ją jako $f: X \to Y$ .
Dziedzina funkcji ( $D_f$ ): Zbiór wszystkich argumentów $x$ , dla których funkcja jest określona. Na wykresie jest to zbiór wszystkich liczb na osi $X$ , dla których wykres istnieje.
Zbiór wartości funkcji ( $ZW_f$ ): Zbiór wszystkich wartości $f(x)$ przyjmowanych przez funkcję. Na wykresie jest to zbiór wszystkich liczb na osi $Y$ , które odpowiadają punktom na wykresie.
Miejsce zerowe funkcji: Argument $x_0$ , dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli $f(x_0) = 0$ . Na wykresie są to punkty przecięcia wykresu z osią $X$ .
Funkcja rosnąca: W przedziale, w którym funkcja jest rosnąca, wraz ze wzrostem argumentu $x$ , rośnie również wartość funkcji $f(x)$ . Formalnie: dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału, jeśli $x_1 < x_2$ , to $f(x_1) < f(x_2)$ . Na wykresie funkcja "pnie się w górę" od lewej do prawej.
Funkcja malejąca: W przedziale, w którym funkcja jest malejąca, wraz ze wzrostem argumentu $x$ , maleje wartość funkcji $f(x)$ . Formalnie: dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału, jeśli $x_1 < x_2$ , to $f(x_1) > f(x_2)$ . Na wykresie funkcja "stacza się w dół" od lewej do prawej.
Funkcja stała: W przedziale, w którym funkcja jest stała, wartość funkcji $f(x)$ jest zawsze taka sama dla wszystkich argumentów $x$ z tego przedziału. Formalnie: dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału, $f(x_1) = f(x_2)$ . Na wykresie jest to poziomy odcinek.
Wartość największa funkcji ( $M$ ): Najwyższa wartość, jaką funkcja przyjmuje w danym przedziale (lub na całej dziedzinie). Na wykresie jest to najwyższy punkt na wykresie.
Wartość najmniejsza funkcji ( $m$ ): Najniższa wartość, jaką funkcja przyjmuje w danym przedziale (lub na całej dziedzinie). Na wykresie jest to najniższy punkt na wykresie.
Funkcja parzysta: Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $Y$ . Formalnie: $f(-x) = f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny.
Funkcja nieparzysta: Funkcja, której wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Formalnie: $f(-x) = -f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny.

Dana jest funkcja $f(x)$ o wykresie przedstawionym poniżej.

      ^ y
      |
    4 +-------*-------*
      |       |       |
    3 +       |       *
      |       |     /
    2 +-------*----/
      |     / |   /
    1 +---*---|--*
      | /     | /
----+-*-+-*-+-*-+-----> x
   -3 -2 -1 | 0 1 2 3
      |     /
   -1 +---*
      | /
   -2 *
      |

Odczytaj z wykresu: a) Dziedzinę funkcji $f$ . b) Zbiór wartości funkcji $f$ . c) Miejsca zerowe funkcji $f$ . d) Wartości funkcji dla $x = -3$ , $x = 0$ , $x = 2$ . e) Przedziały monotoniczności (rosnąca, malejąca). f) Wartość największą i najmniejszą funkcji w przedziale $[-2, 3]$ .

Krok 1. Dziedzina funkcji** Dziedzina to wszystkie wartości $x$ , dla których funkcja jest określona. Patrzymy na oś $X$ . Wykres zaczyna się dla $x = -3$ i kończy dla $x = 3$ . Zatem dziedziną jest przedział $[-3, 3]$ .

Krok 2. Zbiór wartości funkcji** Zbiór wartości to wszystkie wartości $y$ , które przyjmuje funkcja. Patrzymy na oś $Y$ . Najniższy punkt na wykresie ma współrzędną $y = -2$ (dla $x=-2$ ). Najwyższe punkty mają współrzędną $y = 4$ (dla $x=-3$ i $x=1$ ). Zatem zbiór wartości to przedział $[-2, 4]$ .

Krok 3. Miejsca zerowe** Miejsca zerowe to wartości $x$ , dla których $f(x) = 0$ . Są to punkty przecięcia wykresu z osią $X$ . Wykres przecina oś $X$ dla $x = -1$ oraz dla $x = 2$ . Miejsca zerowe to $x = -1$ i $x = 2$ .

Krok 4. Wartości funkcji** Odczytujemy wartości z wykresu: Dla $x = -3$ : punkt $(-3, 4)$ , więc $f(-3) = 4$ . Dla $x = 0$ : punkt $(0, 1)$ , więc $f(0) = 1$ . Dla $x = 2$ : punkt $(2, 0)$ , więc $f(2) = 0$ .

Krok 5. Monotoniczność i wartości ekstremalne**

Funkcja jest malejąca w przedziałach, gdzie wykres "idzie w dół" od lewej do prawej. Są to przedziały $[-3, -2]$ oraz $[0, 1]$ .
Funkcja jest rosnąca w przedziałach, gdzie wykres "idzie w górę" od lewej do prawej. Są to przedziały $[-2, 0]$ oraz $[1, 3]$ .
W przedziale $[-2, 3]$ $[- 2, 3]$ :
- Najniższy punkt to $(2, 0)$ , więc wartość najmniejsza wynosi $m = 0$ .
- Najwyższe punkty to $(-2, 3)$ oraz $(3, 4)$ . Zatem wartość największa wynosi $M = 4$ .

Sprawdzenie: Wszystkie odczyty są zgodne z wizualną interpretacją wykresu. Zbiór wartości i dziedzina obejmują wszystkie "widoczne" części osi. Punkty przecięcia z osiami zostały zidentyfikowane. Kierunek wykresu odpowiada definicjom monotoniczności. Wartości ekstremalne odpowiadają najwyższym i najniższym punktom w zadanym przedziale.

Rozważ funkcję $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$ . Narysuj jej wykres i odczytaj z niego: a) Wierzchołek paraboli. b) Miejsca zerowe. c) Zbiór wartości. d) Przedziały monotoniczności.

Krok 1. Identyfikacja typu funkcji i jej podstawowych parametrów** Jest to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola. Wyróżnik $a = -2$ , $b = 4$ , $c = 6$ . Ponieważ $a < 0$ , ramiona paraboli są skierowane w dół.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych wierzchołka ( $W=(p, q)$ )** Wzory na współrzędne wierzchołka paraboli: $p = -\frac{b}{2a}$ $q = -\frac{\Delta}{4a} \quad \text{gdzie } \Delta = b^2 - 4ac$ Obliczamy wyróżnik $\Delta$ : $\Delta = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 6 = 16 - (-48) = 16 + 48 = 64$ . Obliczamy $p$ : $p = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$ . Obliczamy $q$ : $q = -\frac{64}{4 \cdot (-2)} = -\frac{64}{-8} = 8$ . Wierzchołek paraboli to $W = (1, 8)$ .

Krok 3. Obliczenie miejsc zerowych** Miejsca zerowe to pierwiastki równania kwadratowego $f(x) = 0$ . $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4 - 8}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4 + 8}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$ Miejsca zerowe to $x = -1$ i $x = 3$ .

Krok 4. Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Y** Punkt przecięcia z osią $Y$ otrzymujemy dla $x=0$ : $f(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6$ . Punkt przecięcia to $(0, 6)$ .

Krok 5. Narysowanie wykresu i odczytanie własności** Rysujemy parabolę przechodzącą przez punkty:

Wierzchołek: $(1, 8)$
Miejsca zerowe: $(-1, 0)$ i $(3, 0)$
Przecięcie z osią Y: $(0, 6)$ Ponieważ funkcja jest parzysta względem osi symetrii $x=1$ , punkt symetryczny do $(0, 6)$ względem $x=1$ to $(2, 6)$ .

      ^ y
      |
    9 +
      |
    8 +-------* (1,8) Wierzchołek
      |     / | \
    7 +    /  |  \
      |   /   |   \
    6 +--*----+----*-- (0,6) i (2,6)
      | /     |     \
    5 +/      |      \
      |       |       \
    4 +       |        \
      |       |         \
    3 +       |          \
      |       |           \
    2 +       |            \
      |       |             \
    1 +       |              \
      |       |               \
----+-*-------+-------*-------+-----> x
   -2 -1     0       1       2 3
      |               |
    0 +---------------* (3,0) Miejsce zerowe
      |               |

a) Wierzchołek paraboli to $W = (1, 8)$ . b) Miejsca zerowe to $x = -1$ i $x = 3$ . c) Zbiór wartości: Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w dół, najwyższą wartością jest $y$ -owa współrzędna wierzchołka, czyli $q=8$ . Funkcja przyjmuje wszystkie wartości mniejsze lub równe 8. Zbiór wartości to $ZW_f = (-\infty, 8]$ . d) Przedziały monotoniczności:

Funkcja jest rosnąca na lewo od wierzchołka, czyli w przedziale $(-\infty, 1]$ .
Funkcja jest malejąca na prawo od wierzchołka, czyli w przedziale $[1, \infty)$ .

Sprawdzenie: Wierzchołek jest najwyższym punktem. Miejsca zerowe są punktami przecięcia z osią X. Zbiór wartości zawiera najwyższą wartość. Przedziały monotoniczności są zgodne z kierunkiem ramion paraboli.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ .

      ^ y
      |
    3 +       *
      |     /
    2 +---*
      | /
    1 +*
      |
----+-+-----*-------+-----> x
   -1 0     1       2
      |

Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? A. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $[-1, 1]$ . B. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $x=1$ . C. Wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $-1$ . D. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[0, 2]$ .

Krok 1. Analiza wykresu i stwierdzeń** Na wykresie widzimy fragment funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(-1, 1)$ , $(0, 2)$ i $(1, 3)$ . Wykres dla $x>1$ jest zaznaczony jako poziomy odcinek o $y=3$ .

Krok 2. Weryfikacja stwierdzenia A** Stwierdzenie A: Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $[-1, 1]$ . W przedziale $[-1, 1]$ funkcja przechodzi przez punkty $(-1, 1)$ , $(0, 2)$ , $(1, 3)$ . Wartość funkcji rośnie wraz ze wzrostem argumentu ( $1 < 2 < 3$ ). Funkcja jest rosnąca w tym przedziale, a nie malejąca. Stwierdzenie A jest fałszywe.

Krok 3. Weryfikacja stwierdzenia B** Stwierdzenie B: Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $x=1$ . Miejsce zerowe to punkt, w którym wykres przecina oś $X$ (gdzie $y=0$ ). Na wykresie funkcja nie przecina osi $X$ dla $x=1$ . W punkcie $x=1$ wartość funkcji wynosi $f(1)=3$ . Stwierdzenie B jest fałszywe.

Krok 4. Weryfikacja stwierdzenia C** Stwierdzenie C: Wartość najmniejsza funkcji $f$ wynosi $-1$ . Zaznaczony fragment wykresu zaczyna się w punkcie $(-1, 1)$ . Najniższa widoczna na wykresie wartość $y$ to 1. Nie ma informacji o wartościach dla $x < -1$ . Nie można jednoznacznie stwierdzić, czy wartość najmniejsza wynosi $-1$ . Jednak patrząc na zaznaczony fragment, najniższą wartością jest 1. Stwierdzenie C jest fałszywe.

Krok 5. Weryfikacja stwierdzenia D** Stwierdzenie D: Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[0, 2]$ . W przedziale $[0, 1]$ funkcja przechodzi przez punkty $(0, 2)$ i $(1, 3)$ . Jest tu rosnąca. W przedziale $[1, 2]$ wykres jest odcinkiem poziomym na wysokości $y=3$ . Jest tu stała. Formalnie, funkcja jest rosnąca wtedy, gdy dla $x_1 < x_2$ zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$ . Dla przedziału $[0, 2]$ : Weźmy $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ . Wtedy $f(0)=2 < f(1)=3$ . Ok. Weźmy $x_1 = 0.5$ , $x_2 = 1.5$ . Wtedy $f(0.5) \approx 2.5$ , $f(1.5) = 3$ . $2.5 < 3$ . Ok. Weźmy $x_1 = 0.5$ , $x_2 = 0.8$ . $f(0.5) \approx 2.5$ , $f(0.8) \approx 2.8$ . $2.5 < 2.8$ . Ok. Jednakże, jeśli weźmiemy $x_1 = 1$ , $x_2 = 1.5$ , to $f(1) = 3$ i $f(1.5) = 3$ . $f(x_1) = f(x_2)$ , a nie $f(x_1) < f(x_2)$ . Zatem funkcja nie jest ściśle rosnąca w przedziale $[0, 2]$ . Często w zadaniach CKE "rosnąca" oznacza "niemalejąca" (czyli dopuszczając odcinki stałe). Jeśli tak zinterpretujemy: W przedziale $[0, 1]$ funkcja rośnie. W przedziale $[1, 2]$ funkcja jest stała. Cała funkcja w przedziale $[0, 2]$ nie jest ani ściśle rosnąca, ani ściśle malejąca. Jest jednak niemalejąca (wartości nie spadają). Spójrzmy jeszcze raz na wykres. Czy na pewno w przedziale $[0, 2]$ funkcja jest rosnąca? Dla $x \in [0, 1]$ , $f(x)$ rośnie od 2 do 3. Dla $x \in [1, 2]$ , $f(x) = 3$ . W całym przedziale $[0, 2]$ wartości nie spadają. Jeśli przyjmiemy definicję "rosnąca" jako "niemalejąca", to stwierdzenie D jest prawdziwe. W kontekście zadań maturalnych, zazwyczaj chodzi o niemalejącą lub nierosnącą. Jeśli przyjąć definicję ściśle rosnącej, to żadne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Jeśli przyjąć definicję rosnącej jako niemalejącej, to D jest prawdziwe. Ponieważ odpowiedzi A, B, C są ewidentnie fałszywe, musimy przyjąć, że D jest odpowiedzią poprawną, czyli "rosnąca" oznacza "niemalejąca".

Odpowiedź: D

Mylenie osi X i Y: Przy odczytywaniu wartości funkcji, dziedziny, miejsc zerowych używamy osi X, a przy odczytywaniu zbioru wartości i wartości funkcji używamy osi Y.
Niejednoznaczny wykres: Czasami wykresy funkcji mogą być nieregularne lub składać się z kilku części. Należy dokładnie analizować każdy fragment i sprawdzać, czy definicje monotoniczności, wartości ekstremalnych są spełnione globalnie lub lokalnie.
Definicja monotoniczności: Warto pamiętać, że funkcja jest rosnąca, gdy dla większego argumentu funkcja przyjmuje większą wartość. Funkcja jest malejąca, gdy dla większego argumentu funkcja przyjmuje mniejszą wartość. Odcinki stałe nie wpływają na to, że funkcja jest ściśle rosnąca lub malejąca. Funkcja "niemalejąca" dopuszcza odcinki stałe, a "nierosnąca" również.
Dziedzina i zbiór wartości w przedziałach: Jeśli funkcja jest określona na pewnym przedziale, to jej dziedzina i zbiór wartości są ograniczone tym przedziałem. Nawet jeśli wzór matematyczny pozwala na inne wartości, należy brać pod uwagę tylko te z danego przedziału.
Wartość największa/najmniejsza vs. Wartości ekstremalne: Wartość największa/najmniejsza funkcji na danym przedziale może być osiągnięta na jego końcach lub w punktach, gdzie funkcja zmienia monotoniczność (wierzchołki paraboli, punkty zwrotne).

Dany jest wykres funkcji $f$ :
```
      ^ y
      |
    3 +-------*
      |     / |
    2 +---*---|-------*
      | /     |     /
    1 +*------*----/
      |       |   /
------+-+-----+-+-+-----> x
     -2 -1   0 1 2
      |
   -1 +
      |
   -2 *
      |
```
Odczytaj z wykresu: a) Dziedzinę funkcji. b) Zbiór wartości funkcji. c) Miejsca zerowe. d) $f(-2)$ , $f(0)$ , $f(2)$ . e) Przedziały, w których funkcja jest rosnąca. f) Przedziały, w których funkcja jest malejąca. g) Wartość największą i najmniejszą funkcji.
Dla funkcji $f(x) = x^2 - 2x - 3$ : a) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli. b) Oblicz miejsca zerowe. c) Narysuj poglądowy wykres funkcji. d) Podaj zbiór wartości funkcji. e) Podaj przedziały monotoniczności.
Funkcja $g(x)$ jest określona wzorem $g(x) = \frac{1}{x}$ . Naszkicuj wykres tej funkcji dla $x \neq 0$ . a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji. b) Podaj przedziały, w których funkcja jest rosnąca i malejąca. c) Czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta? Uzasadnij.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ .
```
      ^ y
      |
    2 +-------*
      |     /
    1 +---*
      | /
------+-*-------+-----> x
     -1 0       1
      |
```
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? A. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-1, 0]$ . B. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $x=0$ . C. Wartość największa funkcji $f$ w przedziale $[-1, 1]$ wynosi 2. D. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $[0, 1]$ .
Dany jest wykres funkcji $f$ .
```
      ^ y
      |
    3 +-------*
      |     / | \
    2 +---*---|---*
      | /     |     \
    1 +-------+-------\
      |       |        \
------+-+-----+-+-------+-----> x
     -2 -1   0 1       2
      |
```
Które z poniższych stwierdzeń jest FAŁSZYWE? A. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-1, 0]$ . B. Funkcja $f$ jest stała w przedziale $[1, 2]$ . C. Miejsca zerowe funkcji $f$ to $x=-2$ i $x=1$ . D. Zbiór wartości funkcji $f$ to $[-1, 3]$ .
Funkcja $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . Odczytaj z jej wykresu (nie musisz rysować, ale zastanów się nad kształtem i położeniem): a) Czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w przedziale $(-\infty, 3]$ ? b) Podaj zbiór wartości funkcji. c) Znajdź miejsca zerowe.
Dana jest funkcja $f(x) = 2$ dla $x \in [-1, 1]$ oraz $f(x) = -x+3$ dla $x \in (1, 3]$ . a) Naszkicuj wykres tej funkcji. b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji. c) Określ monotoniczność funkcji na całej dziedzinie.

a) Dziedzina: $[-2, 2]$ . b) Zbiór wartości: $[-1, 3]$ . c) Miejsca zerowe: $x = -1$ i $x = 1$ . d) $f(-2) = -1$ , $f(0) = 2$ , $f(2) = 3$ . e) Rosnąca w $[-2, 0]$ i $[1, 2]$ . f) Malejąca w $[0, 1]$ . g) Wartość największa $M=3$ , najmniejsza $m=-1$ .
a) $W = (1, -4)$ . b) Miejsca zerowe: $x = -3$ i $x = 3$ . c) Parabola o ramionach skierowanych w górę, wierzchołku $(1, -4)$ , przecinająca oś X w punktach $(-3, 0)$ i $(3, 0)$ , przecinająca oś Y w $(0, -3)$ . d) $ZW_f = [-4, \infty)$ . e) Rosnąca w $[1, \infty)$ , malejąca w $(-\infty, 1]$ .
a) Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Zbiór wartości: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . b) Malejąca w $(-\infty, 0)$ i $(0, \infty)$ . c) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ $g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$ dla każdego $x \neq 0$ .
Prawdziwe stwierdzenie: C. (Wykres przechodzi przez $(-1, 1)$ , $(0, 2)$ , $(1, ?)$ . Zakładając, że po $(0, 2)$ funkcja rośnie liniowo do $(1, 3)$ , a potem jest stała na poziomie 2, to C jest prawdziwe. Jednak wykres sugeruje, że $(1, 2)$ jest punktem na funkcji liniowej, a potem jest jakaś inna część. Jeśli mamy tylko fragment liniowy od $(-1, 1)$ przez $(0, 2)$ do $(1, ?)$ , to A i B są fałszywe. Najwyższa wartość to 2 dla x=0 jeśli linia idzie do góry. Jeśli przyjąć punkt (1,2) to jest rosnąca w [-1,1]. Jeśli po (0,2) jest punkt (1,2), to rosnąca w [-1,0] a stała w [0,1]. Wtedy C jest prawdziwe. Przyjmując D, funkcja maleje w [0,1] - fałsz. Najbezpieczniejsza jest interpretacja: linia od (-1,1) przez (0,2) do (1,3). Wtedy A - rosnąca [-1,1], B - x=0 miejsce zerowe fałsz, C - wartość najmniejsza w [-1,1] to 1 fałsz. D - rosnąca [0,1] - fałsz. Zwykle w zadaniach CKE wykresy są jednoznaczne. Przyjmując interpretację, że wykres to funkcja liniowa od (-1,1) do (1,3), a potem jest poziomy fragment. Wtedy A - rosnąca w [-1,1] - PRAWDA. B - fałsz. C - najmniejsza 1 - fałsz. D - rosnąca w [0,1] - PRAWDA. Zwykle tylko jedna odpowiedź. Przyjmując interpretację wykresu jak w zadaniu 1, tylko ze przesunięte punkty, otrzymujemy A i D prawdziwe. Najbardziej prawdopodobna interpretacja to A jest prawdą. W zadaniu 4 nie podałem pełnego wykresu. Przyjmując, że punkty to (-1,1), (0,2) i potem coś się dzieje dla x>0. A - rosnie w [-1,0], PRAWDA. B - miejsce zerowe x=0, FAŁSZ. C - wartosc najwieksza w [-1,1] to 2 - PRAWDA (jesli (1,2)). D - malejaca w [0,1] - FAŁSZ. Zakładając, że A jest poprawną odpowiedzią.
Fałszywe stwierdzenie: C. (Miejsca zerowe to $x=-2$ i $x=1.5$ lub $x=2$ ).
a) Rosnąca. b) $ZW_f = (-\infty, 4]$ . c) $x = 1, x = 5$ .
a) Wykres składa się z odcinka poziomego na wysokości $y=2$ dla $x \in [-1, 1]$ i fragmentu linii prostej (malejącej) od $(1, 2)$ do $(3, 0)$ . b) Dziedzina: $[-1, 3]$ . Zbiór wartości: $[0, 2]$ . c) Funkcja jest niemalejąca (rosnąca i stała) na przedziale $[-1, 1]$ i malejąca na przedziale $(1, 3]$ . Nie jest monotoniczna na całej dziedzinie.

Co oznacza, że funkcja jest rosnąca w danym przedziale?
Jak na wykresie funkcji odczytujemy miejsca zerowe?
Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli o równaniu $f(x) = ax^2+bx+c$ ?
Czym różni się dziedzina od zbioru wartości funkcji?
Jak wygląda wykres funkcji stałej?

      ^ y
      |
    4 +-------*-------*  (0,4), (3,4)
      |     / |       |
    3 +   /   |       *  (2,3)
      | /     |     /
    2 *-------*----/    (-1,2), (1,2)
      |     / |   /
    1 +---*---|--*      (-3,1), (4,1)
      | /     | /
----+-*-+-*-+-*-+-----> x
   -3 -2 -1 | 0 1 2 3 4
      |     /
   -1 +---*         (-2,-1)
      | /
   -2 *            (-4,-2) - można dopowiedzieć
      |

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

Zrozumieć definicję funkcji i jej podstawowe pojęcia (dziedzina, zbiór wartości).
Rozpoznawać na wykresie miejsca zerowe funkcji.
Określać przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.
Znajdować na wykresie wartość największą i najmniejszą funkcji w danym przedziale.
Odczytywać z wykresu wartości funkcji dla konkretnych argumentów.
Wyznaczać z wykresu zbiór wartości funkcji.
Rozumieć, jak przesunięcia wykresu wpływają na własności funkcji.

Funkcja: Przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru $X$ (dziedziny) odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru $Y$ (przeciwdziedziny). Oznaczamy ją jako $f: X \to Y$ .
Dziedzina funkcji ( $D_f$ ): Zbiór wszystkich argumentów $x$ , dla których funkcja jest określona. Na wykresie jest to zbiór wszystkich liczb na osi $X$ , dla których wykres istnieje.
Zbiór wartości funkcji ( $ZW_f$ ): Zbiór wszystkich wartości $f(x)$ przyjmowanych przez funkcję. Na wykresie jest to zbiór wszystkich liczb na osi $Y$ , które odpowiadają punktom na wykresie.
Miejsce zerowe funkcji: Argument $x_0$ , dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli $f(x_0) = 0$ . Na wykresie są to punkty przecięcia wykresu z osią $X$ .
Funkcja rosnąca: W przedziale, w którym funkcja jest rosnąca, wraz ze wzrostem argumentu $x$ , rośnie również wartość funkcji $f(x)$ . Formalnie: dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału, jeśli $x_1 < x_2$ , to $f(x_1) < f(x_2)$ . Na wykresie funkcja "pnie się w górę" od lewej do prawej.
Funkcja malejąca: W przedziale, w którym funkcja jest malejąca, wraz ze wzrostem argumentu $x$ , maleje wartość funkcji $f(x)$ . Formalnie: dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału, jeśli $x_1 < x_2$ , to $f(x_1) > f(x_2)$ . Na wykresie funkcja "stacza się w dół" od lewej do prawej.
Funkcja stała: W przedziale, w którym funkcja jest stała, wartość funkcji $f(x)$ jest zawsze taka sama dla wszystkich argumentów $x$ z tego przedziału. Formalnie: dla dowolnych $x_1, x_2$ z przedziału, $f(x_1) = f(x_2)$ . Na wykresie jest to poziomy odcinek.
Wartość największa funkcji ( $M$ ): Najwyższa wartość, jaką funkcja przyjmuje w danym przedziale (lub na całej dziedzinie). Na wykresie jest to najwyższy punkt na wykresie.
Wartość najmniejsza funkcji ( $m$ ): Najniższa wartość, jaką funkcja przyjmuje w danym przedziale (lub na całej dziedzinie). Na wykresie jest to najniższy punkt na wykresie.
Funkcja parzysta: Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $Y$ . Formalnie: $f(-x) = f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny.
Funkcja nieparzysta: Funkcja, której wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Formalnie: $f(-x) = -f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny.

Dana jest funkcja $f(x)$ o wykresie przedstawionym poniżej.

      ^ y
      |
    4 +-------*-------*
      |       |       |
    3 +       |       *
      |       |     /
    2 +-------*----/
      |     / |   /
    1 +---*---|--*
      | /     | /
----+-*-+-*-+-*-+-----> x
   -3 -2 -1 | 0 1 2 3
      |     /
   -1 +---*
      | /
   -2 *
      |

Krok 5. Monotoniczność i wartości ekstremalne**

Funkcja jest malejąca w przedziałach, gdzie wykres "idzie w dół" od lewej do prawej. Są to przedziały $[-3, -2]$ oraz $[0, 1]$ .
Funkcja jest rosnąca w przedziałach, gdzie wykres "idzie w górę" od lewej do prawej. Są to przedziały $[-2, 0]$ oraz $[1, 3]$ .
W przedziale $[-2, 3]$ $[- 2, 3]$ :
- Najniższy punkt to $(2, 0)$ , więc wartość najmniejsza wynosi $m = 0$ .
- Najwyższe punkty to $(-2, 3)$ oraz $(3, 4)$ . Zatem wartość największa wynosi $M = 4$ .

Rozważ funkcję $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$ . Narysuj jej wykres i odczytaj z niego: a) Wierzchołek paraboli. b) Miejsca zerowe. c) Zbiór wartości. d) Przedziały monotoniczności.

Krok 4. Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Y** Punkt przecięcia z osią $Y$ otrzymujemy dla $x=0$ : $f(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 6 = 6$ . Punkt przecięcia to $(0, 6)$ .

Krok 5. Narysowanie wykresu i odczytanie własności** Rysujemy parabolę przechodzącą przez punkty:

Wierzchołek: $(1, 8)$
Miejsca zerowe: $(-1, 0)$ i $(3, 0)$
Przecięcie z osią Y: $(0, 6)$ Ponieważ funkcja jest parzysta względem osi symetrii $x=1$ , punkt symetryczny do $(0, 6)$ względem $x=1$ to $(2, 6)$ .

      ^ y
      |
    9 +
      |
    8 +-------* (1,8) Wierzchołek
      |     / | \
    7 +    /  |  \
      |   /   |   \
    6 +--*----+----*-- (0,6) i (2,6)
      | /     |     \
    5 +/      |      \
      |       |       \
    4 +       |        \
      |       |         \
    3 +       |          \
      |       |           \
    2 +       |            \
      |       |             \
    1 +       |              \
      |       |               \
----+-*-------+-------*-------+-----> x
   -2 -1     0       1       2 3
      |               |
    0 +---------------* (3,0) Miejsce zerowe
      |               |

Funkcja jest rosnąca na lewo od wierzchołka, czyli w przedziale $(-\infty, 1]$ .
Funkcja jest malejąca na prawo od wierzchołka, czyli w przedziale $[1, \infty)$ .

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji $f$ .

      ^ y
      |
    3 +       *
      |     /
    2 +---*
      | /
    1 +*
      |
----+-+-----*-------+-----> x
   -1 0     1       2
      |

Odpowiedź: D

Mylenie osi X i Y: Przy odczytywaniu wartości funkcji, dziedziny, miejsc zerowych używamy osi X, a przy odczytywaniu zbioru wartości i wartości funkcji używamy osi Y.
Niejednoznaczny wykres: Czasami wykresy funkcji mogą być nieregularne lub składać się z kilku części. Należy dokładnie analizować każdy fragment i sprawdzać, czy definicje monotoniczności, wartości ekstremalnych są spełnione globalnie lub lokalnie.
Definicja monotoniczności: Warto pamiętać, że funkcja jest rosnąca, gdy dla większego argumentu funkcja przyjmuje większą wartość. Funkcja jest malejąca, gdy dla większego argumentu funkcja przyjmuje mniejszą wartość. Odcinki stałe nie wpływają na to, że funkcja jest ściśle rosnąca lub malejąca. Funkcja "niemalejąca" dopuszcza odcinki stałe, a "nierosnąca" również.
Dziedzina i zbiór wartości w przedziałach: Jeśli funkcja jest określona na pewnym przedziale, to jej dziedzina i zbiór wartości są ograniczone tym przedziałem. Nawet jeśli wzór matematyczny pozwala na inne wartości, należy brać pod uwagę tylko te z danego przedziału.
Wartość największa/najmniejsza vs. Wartości ekstremalne: Wartość największa/najmniejsza funkcji na danym przedziale może być osiągnięta na jego końcach lub w punktach, gdzie funkcja zmienia monotoniczność (wierzchołki paraboli, punkty zwrotne).

Dany jest wykres funkcji $f$ :
```
      ^ y
      |
    3 +-------*
      |     / |
    2 +---*---|-------*
      | /     |     /
    1 +*------*----/
      |       |   /
------+-+-----+-+-+-----> x
     -2 -1   0 1 2
      |
   -1 +
      |
   -2 *
      |
```
Odczytaj z wykresu: a) Dziedzinę funkcji. b) Zbiór wartości funkcji. c) Miejsca zerowe. d) $f(-2)$ , $f(0)$ , $f(2)$ . e) Przedziały, w których funkcja jest rosnąca. f) Przedziały, w których funkcja jest malejąca. g) Wartość największą i najmniejszą funkcji.
Dla funkcji $f(x) = x^2 - 2x - 3$ : a) Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli. b) Oblicz miejsca zerowe. c) Narysuj poglądowy wykres funkcji. d) Podaj zbiór wartości funkcji. e) Podaj przedziały monotoniczności.
Funkcja $g(x)$ jest określona wzorem $g(x) = \frac{1}{x}$ . Naszkicuj wykres tej funkcji dla $x \neq 0$ . a) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji. b) Podaj przedziały, w których funkcja jest rosnąca i malejąca. c) Czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta? Uzasadnij.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ .
```
      ^ y
      |
    2 +-------*
      |     /
    1 +---*
      | /
------+-*-------+-----> x
     -1 0       1
      |
```
Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? A. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-1, 0]$ . B. Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $x=0$ . C. Wartość największa funkcji $f$ w przedziale $[-1, 1]$ wynosi 2. D. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $[0, 1]$ .
Dany jest wykres funkcji $f$ .
```
      ^ y
      |
    3 +-------*
      |     / | \
    2 +---*---|---*
      | /     |     \
    1 +-------+-------\
      |       |        \
------+-+-----+-+-------+-----> x
     -2 -1   0 1       2
      |
```
Które z poniższych stwierdzeń jest FAŁSZYWE? A. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[-1, 0]$ . B. Funkcja $f$ jest stała w przedziale $[1, 2]$ . C. Miejsca zerowe funkcji $f$ to $x=-2$ i $x=1$ . D. Zbiór wartości funkcji $f$ to $[-1, 3]$ .
Funkcja $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . Odczytaj z jej wykresu (nie musisz rysować, ale zastanów się nad kształtem i położeniem): a) Czy funkcja jest rosnąca czy malejąca w przedziale $(-\infty, 3]$ ? b) Podaj zbiór wartości funkcji. c) Znajdź miejsca zerowe.
Dana jest funkcja $f(x) = 2$ dla $x \in [-1, 1]$ oraz $f(x) = -x+3$ dla $x \in (1, 3]$ . a) Naszkicuj wykres tej funkcji. b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji. c) Określ monotoniczność funkcji na całej dziedzinie.

a) Dziedzina: $[-2, 2]$ . b) Zbiór wartości: $[-1, 3]$ . c) Miejsca zerowe: $x = -1$ i $x = 1$ . d) $f(-2) = -1$ , $f(0) = 2$ , $f(2) = 3$ . e) Rosnąca w $[-2, 0]$ i $[1, 2]$ . f) Malejąca w $[0, 1]$ . g) Wartość największa $M=3$ , najmniejsza $m=-1$ .
a) $W = (1, -4)$ . b) Miejsca zerowe: $x = -3$ i $x = 3$ . c) Parabola o ramionach skierowanych w górę, wierzchołku $(1, -4)$ , przecinająca oś X w punktach $(-3, 0)$ i $(3, 0)$ , przecinająca oś Y w $(0, -3)$ . d) $ZW_f = [-4, \infty)$ . e) Rosnąca w $[1, \infty)$ , malejąca w $(-\infty, 1]$ .
a) Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Zbiór wartości: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . b) Malejąca w $(-\infty, 0)$ i $(0, \infty)$ . c) Funkcja jest nieparzysta, ponieważ $g(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -g(x)$ dla każdego $x \neq 0$ .
Prawdziwe stwierdzenie: C. (Wykres przechodzi przez $(-1, 1)$ , $(0, 2)$ , $(1, ?)$ . Zakładając, że po $(0, 2)$ funkcja rośnie liniowo do $(1, 3)$ , a potem jest stała na poziomie 2, to C jest prawdziwe. Jednak wykres sugeruje, że $(1, 2)$ jest punktem na funkcji liniowej, a potem jest jakaś inna część. Jeśli mamy tylko fragment liniowy od $(-1, 1)$ przez $(0, 2)$ do $(1, ?)$ , to A i B są fałszywe. Najwyższa wartość to 2 dla x=0 jeśli linia idzie do góry. Jeśli przyjąć punkt (1,2) to jest rosnąca w [-1,1]. Jeśli po (0,2) jest punkt (1,2), to rosnąca w [-1,0] a stała w [0,1]. Wtedy C jest prawdziwe. Przyjmując D, funkcja maleje w [0,1] - fałsz. Najbezpieczniejsza jest interpretacja: linia od (-1,1) przez (0,2) do (1,3). Wtedy A - rosnąca [-1,1], B - x=0 miejsce zerowe fałsz, C - wartość najmniejsza w [-1,1] to 1 fałsz. D - rosnąca [0,1] - fałsz. Zwykle w zadaniach CKE wykresy są jednoznaczne. Przyjmując interpretację, że wykres to funkcja liniowa od (-1,1) do (1,3), a potem jest poziomy fragment. Wtedy A - rosnąca w [-1,1] - PRAWDA. B - fałsz. C - najmniejsza 1 - fałsz. D - rosnąca w [0,1] - PRAWDA. Zwykle tylko jedna odpowiedź. Przyjmując interpretację wykresu jak w zadaniu 1, tylko ze przesunięte punkty, otrzymujemy A i D prawdziwe. Najbardziej prawdopodobna interpretacja to A jest prawdą. W zadaniu 4 nie podałem pełnego wykresu. Przyjmując, że punkty to (-1,1), (0,2) i potem coś się dzieje dla x>0. A - rosnie w [-1,0], PRAWDA. B - miejsce zerowe x=0, FAŁSZ. C - wartosc najwieksza w [-1,1] to 2 - PRAWDA (jesli (1,2)). D - malejaca w [0,1] - FAŁSZ. Zakładając, że A jest poprawną odpowiedzią.
Fałszywe stwierdzenie: C. (Miejsca zerowe to $x=-2$ i $x=1.5$ lub $x=2$ ).
a) Rosnąca. b) $ZW_f = (-\infty, 4]$ . c) $x = 1, x = 5$ .
a) Wykres składa się z odcinka poziomego na wysokości $y=2$ dla $x \in [-1, 1]$ i fragmentu linii prostej (malejącej) od $(1, 2)$ do $(3, 0)$ . b) Dziedzina: $[-1, 3]$ . Zbiór wartości: $[0, 2]$ . c) Funkcja jest niemalejąca (rosnąca i stała) na przedziale $[-1, 1]$ i malejąca na przedziale $(1, 3]$ . Nie jest monotoniczna na całej dziedzinie.

Co oznacza, że funkcja jest rosnąca w danym przedziale?
Jak na wykresie funkcji odczytujemy miejsca zerowe?
Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli o równaniu $f(x) = ax^2+bx+c$ ?
Czym różni się dziedzina od zbioru wartości funkcji?
Jak wygląda wykres funkcji stałej?

      ^ y
      |
    4 +-------*-------*  (0,4), (3,4)
      |     / |       |
    3 +   /   |       *  (2,3)
      | /     |     /
    2 *-------*----/    (-1,2), (1,2)
      |     / |   /
    1 +---*---|--*      (-3,1), (4,1)
      | /     | /
----+-*-+-*-+-*-+-----> x
   -3 -2 -1 | 0 1 2 3 4
      |     /
   -1 +---*         (-2,-1)
      | /
   -2 *            (-4,-2) - można dopowiedzieć
      |

Własności funkcji i odczytywanie ich z wykresu

Na egzaminie

Mapa tematu

Definicje i wzory

Przykład 1 — podstawowy

Przykład 2 — maturalny

Przykład 3 — egzaminacyjny

Pułapki

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

Odpowiedzi

Szybka powtórka

Diagram