Logarytmy

Logarytmy pojawiają się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym dość regularnie, choć nie w każdym arkuszu. Najczęściej występują w zadaniach zamkniętych, a ich rozwiązanie opiera się na znajomości definicji oraz podstawowych własności logarytmów. Zadania te zazwyczaj są punktowane po 1 punkcie, a ich trudność nie jest wysoka, jeśli opanuje się kluczowe wzory i zasady. CKE lubi sprawdzać umiejętność stosowania definicji logarytmu, zamiany postaci logarytmicznej na wykładniczą i odwrotnie, a także wykorzystanie podstawowych własności do upraszczania wyrażeń.

W tej lekcji opanujesz:

1. Definicję logarytmu i jej interpretację.
2. Zamianę postaci logarytmicznej na wykładniczą i odwrotnie.
3. Podstawowe własności logarytmów, w tym: logarytm z jedynki, logarytm z podstawy, potęgę logarytmu.
4. Twierdzenia o logarytmie iloczynu, ilorazu i potęgi.
5. Twierdzenie o zamianie podstawy logarytmu.
6. Obliczanie wartości wyrażeń zawierających logarytmy.
7. Zastosowanie logarytmów w prostych zadaniach typu maturalnego.
8. Unikanie typowych błędów przy pracy z logarytmami.

• Definicja logarytmu: Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy dodatniej podstawie $a$ ($a \neq 1$) nazywamy wykładnik $x$, do którego należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $b$. Zapis: $\log_a b = x \iff a^x = b$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$.

• Warunki istnienia logarytmu:

  • Podstawa logarytmu $a$ musi być liczbą dodatnią i różną od 1 ($a > 0$ i $a \neq 1$).
  • Liczba logarytmowana $b$ musi być liczbą dodatnią ($b > 0$).

• Zamiana postaci:

  • Z postaci logarytmicznej na wykładniczą: $\log_a b = x \iff a^x = b$
  • Z postaci wykładniczej na logarytmiczną: $a^x = b \iff \log_a b = x$

• Podstawowe własności:

  • $\log_a 1 = 0$, ponieważ $a^0 = 1$ dla dowolnego $a > 0, a \neq 1$.
  • $\log_a a = 1$, ponieważ $a^1 = a$ dla dowolnego $a > 0, a \neq 1$.
  • $\log_a a^k = k$, ponieważ $a^k = a^k$.

• Twierdzenia o logarytmach: Dla $a > 0, a \neq 1$, $x > 0$, $y > 0$:

  • Logarytm iloczynu: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
  • Logarytm ilorazu: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
  • Logarytm potęgi: $\log_a x^k = k \cdot \log_a x$, gdzie $k$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

• Wzór na zamianę podstawy: Dla $a > 0, a \neq 1$, $b > 0$, $c > 0, c \neq 1$: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ Najczęściej stosowany wariant to zamiana na logarytm naturalny ($\ln$) lub dziesiętny ($\log$, bez zapisu podstawy).

  • $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
  • $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$

• Uwaga: Logarytmy dziesiętne (o podstawie 10) często zapisujemy jako $\log x$ (bez podstawy). Logarytmy naturalne (o podstawie $e$, gdzie $e \approx 2.718$) zapisujemy jako $\ln x$.

Oblicz wartość wyrażenia $\log_2 16$.

Krok 1. Zapisujemy wyrażenie: $\log_2 16$. Krok 2. Stosujemy definicję logarytmu: szukamy takiej liczby $x$, dla której $2^x = 16$. Krok 3. Rozkładamy liczbę 16 na czynniki lub szukamy potęgi liczby 2, która daje 16. Wiemy, że $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$. Krok 4. Znaleźliśmy wykładnik: $x=4$. Zatem $2^4 = 16$. Krok 5. Zgodnie z definicją, $\log_2 16 = 4$.

Sprawdzenie: Czy $2^4 = 16$? Tak, $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Wynik jest poprawny.

Oblicz wartość wyrażenia $\log_3 54 - \log_3 2$.

Krok 1. Analizujemy wyrażenie. Widzimy logarytmy o tej samej podstawie (3) i znak odejmowania. Przypominamy sobie twierdzenie o logarytmie ilorazu: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$. Krok 2. Stosujemy twierdzenie. W tym przypadku $a=3$, $x=54$, $y=2$. $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \frac{54}{2}$ Krok 3. Wykonujemy dzielenie w liczbie logarytmowanej: $\frac{54}{2} = 27$. $\log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27$ Krok 4. Obliczamy wartość otrzymanego logarytmu. Szukamy liczby $x$ takiej, że $3^x = 27$. Krok 5. Wiemy, że $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$. Zatem $x=3$. $\log_3 27 = 3$ Ostateczna wartość wyrażenia to 3.

Sprawdzenie: Możemy też sprawdzić, czy $\log_3 54 = \log_3 (27 \cdot 2) = \log_3 27 + \log_3 2 = 3 + \log_3 2$. Wtedy $\log_3 54 - \log_3 2 = (3 + \log_3 2) - \log_3 2 = 3$. Wynik jest poprawny.

Oblicz wartość wyrażenia: $\frac{\log_5 125}{\log_5 5}$

Krok 1. Rozpoznajemy zadanie jako wymagające obliczenia wartości logarytmów lub zastosowania twierdzenia o zamianie podstawy. Krok 2. Obliczamy licznik: $\log_5 125$. Szukamy $x$ takiego, że $5^x = 125$. Ponieważ $5^3 = 125$, to $\log_5 125 = 3$. Krok 3. Obliczamy mianownik: $\log_5 5$. Korzystając z własności $\log_a a = 1$, otrzymujemy $\log_5 5 = 1$. Krok 4. Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia: $\frac{\log_5 125}{\log_5 5} = \frac{3}{1}$ Krok 5. Obliczamy wynik: $\frac{3}{1} = 3$.

Alternatywne rozwiązanie (zamiana podstawy): Zauważmy, że mianownik jest logarytmem o podstawie 5, a licznik jest również logarytmem o podstawie 5. Możemy potraktować to jako zastosowanie wzoru na zamianę podstawy w odwrotnej kolejności: $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$. W tym przypadku $c=5$, $b=125$, $a=5$. Otrzymujemy: $\frac{\log_5 125}{\log_5 5} = \log_5 125$ Następnie obliczamy $\log_5 125 = 3$, ponieważ $5^3 = 125$. Wynik jest ten sam.

• Niespełnione warunki: Uczniowie często zapominają o warunkach istnienia logarytmu ($a>0, a \neq 1, b>0$). Może to prowadzić do błędnych obliczeń lub prób obliczenia logarytmów z liczb ujemnych lub zer, bądź o niedozwolonej podstawie. Zawsze sprawdzaj warunki na początku.
• Mylenie twierdzeń: Częstym błędem jest stosowanie twierdzenia o logarytmie iloczynu do sumy lub różnicy: $\log_a (x+y) \neq \log_a x + \log_a y$ ani $\log_a (x-y) \neq \log_a x - \log_a y$. Pamiętaj: suma logarytmów to logarytm iloczynu, różnica logarytmów to logarytm ilorazu.
• Złe zastosowanie potęgi: Własność $\log_a x^k = k \cdot \log_a x$ jest często mylona, np. zapisywana jako $\log_a x^k = (\log_a x)^k$. Pamiętaj, że wykładnik "wychodzi" przed logarytm jako mnożenie, a nie potęgowanie.
• Logarytmy o tej samej podstawie: Twierdzenia o iloczynie, ilorazie i potędze można stosować tylko do logarytmów o tej samej podstawie. Jeśli podstawy są różne, trzeba je najpierw ujednolicić, np. za pomocą wzoru na zamianę podstawy.
• Brak rozróżnienia $\log$ i $\ln$: Chociaż na maturze podstawowej zazwyczaj podaje się podstawę, warto pamiętać, że $\log$ bez podstawy to $\log_{10}$, a $\ln$ to $\log_e$. Ich wartości są różne.

1. Oblicz wartość wyrażenia: $\log_3 81$.
2. Oblicz wartość wyrażenia: $\log_5 0.04$.
3. Oblicz wartość wyrażenia: $2 \cdot \log_4 2$.
4. Oblicz wartość wyrażenia: $\log_2 5 + \log_2 0.8$.
5. Uprość wyrażenie: $\log_6 3 + \log_6 12$.
6. Uprość wyrażenie: $2 \cdot \log 7 - \log 49$.
7. Zapisz liczbę 5 jako logarytm o podstawie 3, tzn. znajdź $x$ takie, że $\log_3 x = 5$.

1. Jaka jest definicja logarytmu $\log_a b = x$?
2. Jakie warunki musi spełniać podstawa $a$ logarytmu?
3. Jaka jest wartość $\log_7 1$?
4. Jak zapisać sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie jako pojedynczy logarytm?
5. Jaki jest wzór na logarytm potęgi $\log_a x^k$?

Logarytm $\log_a b = x$ definiuje się przez równanie wykładnicze $a^x = b$.

Warunki: $a > 0$ $a \neq 1$ $b > 0$

Przykład: $\log_2 8 = 3 \iff 2^3 = 8$.