Notacja wykładnicza

Zadania związane z notacją wykładniczą pojawiają się na maturze podstawowej regularnie, zazwyczaj jako elementy większych zadań dotyczących liczb rzeczywistych lub jako zadania zamknięte za 1 punkt. CKE sprawdza przede wszystkim umiejętność zamiany liczb na notację wykładniczą i odwrotnie, a także wykonywania podstawowych działań (mnożenie, dzielenie, rzadziej dodawanie i odejmowanie) na liczbach w tej postaci.

W ramach tej lekcji opanujesz następujące umiejętności:

1. Zrozumiesz, czym jest notacja wykładnicza i w jakich sytuacjach jest użyteczna.
2. Nauczysz się zamieniać duże liczby na notację wykładniczą.
3. Będziesz potrafił zamieniać bardzo małe liczby na notację wykładniczą.
4. Opanujesz przekształcanie liczb z notacji wykładniczej z powrotem na postać dziesiętną.
5. Nauczysz się mnożyć i dzielić liczby zapisane w notacji wykładniczej.
6. Poznasz zasady dodawania i odejmowania liczb w notacji wykładniczej.
7. Będziesz umiał rozwiązywać zadania tekstowe wykorzystujące notację wykładniczą.

Notacja wykładnicza (zwana również naukową) to sposób zapisywania liczb, szczególnie bardzo dużych lub bardzo małych, w zwartej i łatwej do odczytania formie. Jest powszechnie stosowana w nauce i inżynierii.

Definicja notacji wykładniczej: Każdą dodatnią liczbę rzeczywistą $x$ można zapisać w postaci: $x = a \cdot 10^k$ gdzie:

• $a$ to liczba rzeczywista spełniająca warunek $1 \le a < 10$ (czyli $a$ jest większe lub równe 1 i mniejsze od 10). Nazywamy ją mantysą lub współczynnikiem.
• $k$ to liczba całkowita (dodatnia, ujemna lub zero). Nazywamy ją wykładnikiem lub cechą.

Przykłady:

• $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2$
• $45000 = 4,5 \cdot 10000 = 4,5 \cdot 10^4$
• $0,0005 = 5 \cdot 0,0001 = 5 \cdot 10^{-4}$

Zasady zamiany na notację wykładniczą:

1. Zapis dużych liczb (gdy $k > 0$):

   • Przesuwamy przecinek w liczbie tak, aby przed nim znajdowała się tylko jedna cyfra różna od zera (czyli $a$ ma być z zakresu $1 \le a < 10$).
   • Wykładnik $k$ jest równy liczbie miejsc, o które przesunęliśmy przecinek w lewo.
   • Przykład: $123\,450\,000 = 1,2345 \cdot 10^8$ (przecinek przesunięto o 8 miejsc w lewo).

2. Zapis małych liczb (gdy $k < 0$):

   • Przesuwamy przecinek w liczbie tak, aby przed nim znajdowała się tylko jedna cyfra różna od zera ($1 \le a < 10$).
   • Wykładnik $k$ jest równy liczbie miejsc, o które przesunęliśmy przecinek w prawo, ale z minusem.
   • Przykład: $0,000\,007\,8 = 7,8 \cdot 10^{-6}$ (przecinek przesunięto o 6 miejsc w prawo).

Działania na liczbach w notacji wykładniczej:

W działaniach na notacji wykładniczej wykorzystujemy podstawowe prawa działań na potęgach:

• $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$
• $\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$
• $(10^m)^n = 10^{m \cdot n}$

1. Mnożenie: Mnożymy współczynniki $a$ i potęgi dziesiątki osobno. $(a \cdot 10^k) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{k+m}$ Po pomnożeniu należy upewnić się, że wynikowy współczynnik jest w zakresie $[1, 10)$. Jeśli nie, należy przesunąć przecinek i odpowiednio skorygować wykładnik.

   Przykład: $(2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5) = (2 \cdot 4) \cdot 10^{3+5} = 8 \cdot 10^8$. Przykład: $(5 \cdot 10^2) \cdot (6 \cdot 10^4) = (5 \cdot 6) \cdot 10^{2+4} = 30 \cdot 10^6 = (3 \cdot 10^1) \cdot 10^6 = 3 \cdot 10^7$.

2. Dzielenie: Dzielimy współczynniki $a$ i potęgi dziesiątki osobno. $\frac{a \cdot 10^k}{b \cdot 10^m} = \left(\frac{a}{b}\right) \cdot 10^{k-m}$ Po podzieleniu należy upewnić się, że wynikowy współczynnik jest w zakresie $[1, 10)$.

   Przykład: $\frac{8 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^3} = \left(\frac{8}{2}\right) \cdot 10^{7-3} = 4 \cdot 10^4$. Przykład: $\frac{2 \cdot 10^5}{4 \cdot 10^2} = \left(\frac{2}{4}\right) \cdot 10^{5-2} = 0,5 \cdot 10^3 = (5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^2$.

3. Dodawanie i odejmowanie: Aby dodać lub odjąć liczby w notacji wykładniczej, muszą one mieć ten sam wykładnik $k$. W razie potrzeby należy przekształcić jedną z liczb tak, aby doprowadzić do wspólnego wykładnika. $a \cdot 10^k + b \cdot 10^k = (a+b) \cdot 10^k$ $a \cdot 10^k - b \cdot 10^k = (a-b) \cdot 10^k$

   Przykład: $3,5 \cdot 10^4 + 2,1 \cdot 10^4 = (3,5 + 2,1) \cdot 10^4 = 5,6 \cdot 10^4$. Przykład: $4 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4$. Aby dodać, musimy sprowadzić do tego samego wykładnika. Wybierzmy $10^5$: $2 \cdot 10^4 = 0,2 \cdot 10^1 \cdot 10^4 = 0,2 \cdot 10^5$. Zatem: $4 \cdot 10^5 + 0,2 \cdot 10^5 = (4 + 0,2) \cdot 10^5 = 4,2 \cdot 10^5$. Można też do $10^4$: $4 \cdot 10^5 = 4 \cdot 10^1 \cdot 10^4 = 40 \cdot 10^4$. Zatem: $40 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^4 = (40 + 2) \cdot 10^4 = 42 \cdot 10^4 = 4,2 \cdot 10^1 \cdot 10^4 = 4,2 \cdot 10^5$. Obie metody dają ten sam poprawny wynik.

Zapisz liczbę $0,000\,000\,057$ w notacji wykładniczej.

Krok 1. Określenie mantysy.** Szukamy liczby $a$ takiej, że $1 \le a < 10$. Musimy przesunąć przecinek w liczbie $0,000\,000\,057$ tak, aby znalazł się po pierwszej cyfrze różnej od zera. Pierwszą taką cyfrą jest 5. Zatem mantysa będzie równa $5,7$.

Krok 2. Określenie wykładnika $k$.** Pierwotnie przecinek znajdował się po zerze na początku liczby ($0\textbf{,}000\,000\,057$). Docelowo ma być między 5 a 7 ($5\textbf{,}7$). Policzmy, o ile miejsc musimy przesunąć przecinek w prawo: $0\textbf{.}000\,000\,057$ Przesunięcie o 1 miejsce: $00\textbf{.}000\,000\,57$ Przesunięcie o 2 miejsca: $000\textbf{.}000\,057$ ... Przesunięcie o 8 miejsc: $000\,000\,05\textbf{.}7$ Przesunęliśmy przecinek o 8 miejsc w prawo.

Krok 3. Ustalenie znaku wykładnika.** Ponieważ pierwotna liczba ($0,000\,000\,057$) jest bardzo mała (mniejsza od 1), wykładnik $k$ musi być liczbą ujemną. Zatem $k = -8$.

Krok 4. Zapisanie liczby w notacji wykładniczej.** Zgodnie z definicją $a \cdot 10^k$, podstawiamy wyznaczone wartości: $5,7 \cdot 10^{-8}$.

Sprawdzenie: $5,7 \cdot 10^{-8} = 5,7 \cdot 0,000\,000\,01 = 0,000\,000\,057$. Wynik jest zgodny z liczbą początkową.

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{(1,2 \cdot 10^6) \cdot (5 \cdot 10^{-3})}{3 \cdot 10^2}$ i przedstaw wynik w notacji wykładniczej.

Krok 1. Obliczenie iloczynu w liczniku.** Najpierw wykonajmy mnożenie w liczniku: $(1,2 \cdot 10^6) \cdot (5 \cdot 10^{-3})$. Mnożymy współczynniki i potęgi dziesiątki osobno: $(1,2 \cdot 5) \cdot (10^6 \cdot 10^{-3})$ $6,0 \cdot 10^{6+(-3)}$ $6 \cdot 10^{6-3}$ $6 \cdot 10^3$ Licznik wynosi $6 \cdot 10^3$.

Krok 2. Wykonanie dzielenia.** Teraz podzielmy wynik z licznika przez mianownik: $\frac{6 \cdot 10^3}{3 \cdot 10^2}$. Dzielimy współczynniki i potęgi dziesiątki osobno: $\left(\frac{6}{3}\right) \cdot \left(\frac{10^3}{10^2}\right)$ $2 \cdot 10^{3-2}$ $2 \cdot 10^1$

Krok 3. Sprawdzenie formatu notacji wykładniczej.** Otrzymaliśmy $2 \cdot 10^1$. Mantysa $a=2$ spełnia warunek $1 \le a < 10$. Wykładnik $k=1$ jest liczbą całkowitą. Wynik jest już w notacji wykładniczej.

Ostateczny wynik: $2 \cdot 10^1$. (Można też zapisać jako 20, ale zadanie wymaga notacji wykładniczej).

Jedna cząsteczka wody waży około $3 \cdot 10^{-23}$ grama. Ile waży $2 \cdot 10^{24}$ cząsteczek wody? Wynik podaj w notacji wykładniczej.

Krok 1. Zapisanie danych i celu.** Masa jednej cząsteczki: $m_c = 3 \cdot 10^{-23}$ g. Liczba cząsteczek: $N = 2 \cdot 10^{24}$. Szukana jest całkowita masa $M$.

Krok 2. Ułożenie równania.** Całkowita masa jest iloczynem masy jednej cząsteczki i liczby cząsteczek: $M = m_c \cdot N$ $M = (3 \cdot 10^{-23}) \cdot (2 \cdot 10^{24})$

Krok 3. Wykonanie mnożenia.** Mnożymy współczynniki i potęgi dziesiątki osobno: $M = (3 \cdot 2) \cdot (10^{-23} \cdot 10^{24})$ $M = 6 \cdot 10^{-23+24}$ $M = 6 \cdot 10^1$

Krok 4. Sprawdzenie formatu notacji wykładniczej.** Otrzymany wynik $6 \cdot 10^1$ jest w prawidłowej notacji wykładniczej, ponieważ mantysa $a=6$ spełnia warunek $1 \le a < 10$, a wykładnik $k=1$ jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź: $2 \cdot 10^{24}$ cząsteczek wody waży $6 \cdot 10^1$ grama.

• Niewłaściwa mantysa $a$: Najczęstszy błąd to zapisanie liczby w postaci $a \cdot 10^k$, gdzie $a$ nie spełnia warunku $1 \le a < 10$. Na przykład $12 \cdot 10^3$ zamiast $1,2 \cdot 10^4$ lub $0,5 \cdot 10^6$ zamiast $5 \cdot 10^5$. Zawsze po wykonaniu działań należy sprawdzić i dostosować mantysę oraz wykładnik.
• Błędny znak wykładnika $k$: Uczniowie często mylą znak wykładnika, zwłaszcza przy małych liczbach. Pamiętaj: liczby większe od 10 mają wykładnik dodatni ($10^k$, gdzie $k > 0$), liczby mniejsze od 1 (ale większe od 0) mają wykładnik ujemny ($10^k$, gdzie $k < 0$).
• Błędy w przesuwaniu przecinka: Liczba miejsc, o które przesunięto przecinek, musi być precyzyjnie policzona. Jeden błąd w policzeniu miejsca skutkuje błędnym wykładnikiem $k$.
• Błędy w działaniach na wykładnikach: Należy pamiętać o podstawowych zasadach działań na potęgach: przy mnożeniu dodajemy wykładniki, przy dzieleniu odejmujemy. Szczególną ostrożność należy zachować przy ujemnych wykładnikach (np. $10^{-3} \cdot 10^5 = 10^{-3+5} = 10^2$, nie $10^{-15}$ ani $10^{-8}$).
• Dodawanie/odejmowanie bez wspólnego wykładnika: Nie można po prostu dodać (lub odjąć) współczynników, jeśli potęgi dziesiątki są różne. Trzeba najpierw sprowadzić liczby do wspólnego wykładnika (np. $2 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2$ to nie $7 \cdot 10^5$, tylko $2 \cdot 10^3 + 0,5 \cdot 10^3 = 2,5 \cdot 10^3$).

1. Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej: a) $0,000\,000\,004\,8$ b) $215\,000\,000\,000\,000$ c) $30,5 \cdot 10^7$ d) $0,000\,001\,5 \cdot 10^4$

2. Zamień liczby zapisane w notacji wykładniczej na postać dziesiętną: a) $6,25 \cdot 10^7$ b) $8,1 \cdot 10^{-5}$ c) $1,003 \cdot 10^0$

3. Oblicz i przedstaw wynik w notacji wykładniczej: a) $(4 \cdot 10^5) \cdot (7 \cdot 10^{-9})$ b) $(1,5 \cdot 10^{-2}) \cdot (2 \cdot 10^{-4})$

4. Oblicz i przedstaw wynik w notacji wykładniczej: a) $\frac{9 \cdot 10^{12}}{3 \cdot 10^4}$ b) $\frac{2,4 \cdot 10^3}{8 \cdot 10^7}$

5. Oblicz i przedstaw wynik w notacji wykładniczej: a) $3,2 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5$ b) $7 \cdot 10^{-3} - 4,5 \cdot 10^{-4}$

6. Prędkość światła w próżni wynosi około $3 \cdot 10^8$ m/s. Ile kilometrów pokona światło w ciągu $2 \cdot 10^2$ sekund? Wynik podaj w notacji wykładniczej.

1. Jaki warunek musi spełniać liczba $a$ (mantysa) w zapisie notacji wykładniczej $a \cdot 10^k$?
2. Czy liczba $0,5 \cdot 10^4$ jest poprawnie zapisana w notacji wykładniczej? Jeśli nie, to dlaczego?
3. Jaka jest zasada dotycząca wykładników potęgi 10 przy dzieleniu liczb w notacji wykładniczej?
4. Jak przekształcić liczbę $2,5 \cdot 10^6$ na postać z wykładnikiem $10^5$?
5. Dla jakich liczb całkowitych $k$ wykładnik w notacji wykładniczej jest ujemny?