Procenty i proporcje

Zadania z procentów i proporcji pojawiają się na maturze podstawowej praktycznie co roku. Mogą występować w formie zadań zamkniętych (testowych) lub otwartych. Zazwyczaj są to zadania o prostej lub średniej trudności, a ich prawidłowe rozwiązanie może przynieść od 1 do nawet 4 punktów. Egzaminatorzy często sprawdzają umiejętność stosowania procentu składanego, obliczania podwyżek i obniżek cen, a także rozwiązywania problemów z wykorzystaniem proporcji prostych i odwrotnie proporcjonalnych.

1. Zrozumienie pojęcia procentu i sposoby jego zapisu.
2. Obliczanie procentu danej liczby.
3. Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
4. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent.
5. Obliczanie podwyżek i obniżek cen.
6. Zastosowanie procentu składanego.
7. Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem proporcji prostych.
8. Rozwiązywanie zadań z zastosowaniem proporcji odwrotnie proporcjonalnych.

• Procent: Jeden procent (1%) to jedna setna ( $\frac{1}{100}$ ) danej wielkości.
• Zapis procentowy: $p\% = \frac{p}{100}$. Na przykład, $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$.
• Obliczanie procentu danej liczby: Aby obliczyć $p\%$ danej liczby $L$, mnożymy liczbę $L$ przez $\frac{p}{100}$: $\text{Wynik} = L \cdot \frac{p}{100}$
• Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba: Aby obliczyć, jakim procentem liczby $L_1$ jest liczba $L_2$, obliczamy ułamek $\frac{L_2}{L_1}$ i mnożymy przez 100%: $\text{Procent} = \frac{L_2}{L_1} \cdot 100\%$
• Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent: Jeśli $p\%$ danej liczby $L$ jest równe $W$, to możemy zapisać równanie: $L \cdot \frac{p}{100} = W$ Aby obliczyć $L$, przekształcamy równanie: $L = W : \frac{p}{100} = W \cdot \frac{100}{p}$
• Podwyżka o $p\%$: Nowa cena $C_{nowa}$ po podwyżce ceny $C_{stara}$ o $p\%$ wynosi: $C_{nowa} = C_{stara} + C_{stara} \cdot \frac{p}{100} = C_{stara} \left( 1 + \frac{p}{100} \right)$
• Obniżka o $p\%$: Nowa cena $C_{nowa}$ po obniżce ceny $C_{stara}$ o $p\%$ wynosi: $C_{nowa} = C_{stara} - C_{stara} \cdot \frac{p}{100} = C_{stara} \left( 1 - \frac{p}{100} \right)$
• Procent składany: Po $n$ okresach, w których następuje kapitalizacja odsetek (lub zmiana procentowa) na poziomie $p\%$ na okres, kwota początkowa $K_0$ wzrośnie do kwoty $K_n$ danej wzorem: $K_n = K_0 \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^n$ Jest to rzadziej spotykane na maturze podstawowej, ale warto znać podstawy.
• Proporcja prosta: Dwie wielkości są proporcjonalne prosto, jeśli wzrostowi jednej towarzyszy proporcjonalny wzrost drugiej (lub spadkowi jednej towarzyszy proporcjonalny spadek drugiej). Jeśli $a$ odpowiada $c$, a $b$ odpowiada $d$, to: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ lub inaczej: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
• Proporcja odwrotnie proporcjonalna: Dwie wielkości są proporcjonalne odwrotnie, jeśli wzrostowi jednej towarzyszy proporcjonalny spadek drugiej (i odwrotnie). Jeśli $a$ odpowiada $c$, a $b$ odpowiada $d$, to: $a \cdot c = b \cdot d$ lub inaczej: $\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$

Oblicz $15\%$ liczby $240$.

Krok 1. Zapisujemy procent w postaci ułamka dziesiętnego lub zwykłego. $15\% = \frac{15}{100} = 0.15$.

Krok 2. Mnożymy liczbę przez obliczony ułamek. Wynik $= 240 \cdot 0.15$.

Krok 3. Wykonujemy mnożenie. $240 \cdot 0.15 = 240 \cdot \frac{15}{100} = \frac{240 \cdot 15}{100} = \frac{3600}{100} = 36$. Alternatywnie: $240 \cdot 0.15 = 24 \cdot 1.5 = 24 + 12 = 36$.

Sprawdzenie: $10\%$ z $240$ to $24$. $5\%$ z $240$ to połowa z $10\%$, czyli $12$. $15\% = 10\% + 5\%$, więc $24 + 12 = 36$. Wynik jest poprawny.

Cena roweru wynosiła $1200$ zł. Najpierw cenę tę podwyższono o $10\%$, a następnie nową cenę obniżono o $20\%$. Jaka jest ostateczna cena roweru?

Krok 1. Obliczamy cenę po pierwszej podwyżce o $10\%$. Wzór na podwyżkę: $C_{nowa} = C_{stara} \left( 1 + \frac{p}{100} \right)$. $C_1 = 1200 \cdot \left( 1 + \frac{10}{100} \right) = 1200 \cdot \left( 1 + 0.10 \right) = 1200 \cdot 1.10$.

Krok 2. Wykonujemy mnożenie. $C_1 = 1200 \cdot 1.10 = 1320$ zł.

Krok 3. Obliczamy nową cenę po obniżce o $20\%$. Teraz bazujemy na cenie $C_1 = 1320$ zł. Wzór na obniżkę: $C_{nowa} = C_{stara} \left( 1 - \frac{p}{100} \right)$. $C_2 = 1320 \cdot \left( 1 - \frac{20}{100} \right) = 1320 \cdot \left( 1 - 0.20 \right) = 1320 \cdot 0.80$.

Krok 4. Wykonujemy mnożenie. $C_2 = 1320 \cdot 0.80 = 132 \cdot 8 = 1056$ zł.

Sprawdzenie: Podwyżka o $10\%$: $1200 + 0.10 \cdot 1200 = 1200 + 120 = 1320$. Obniżka o $20\%$ od $1320$: $1320 - 0.20 \cdot 1320 = 1320 - 264 = 1056$. Wynik jest poprawny.

W klasie liczącej $25$ uczniów, $40\%$ to dziewczęta. Ilu chłopców jest w tej klasie?

Krok 1. Obliczamy liczbę dziewcząt. Liczba dziewcząt $= 25 \cdot 40\% = 25 \cdot \frac{40}{100} = 25 \cdot 0.4$.

Krok 2. Wykonujemy mnożenie. $25 \cdot 0.4 = 10$. W klasie jest $10$ dziewcząt.

Krok 3. Obliczamy liczbę chłopców. Liczba chłopców = Całkowita liczba uczniów - Liczba dziewcząt. Liczba chłopców $= 25 - 10 = 15$.

Alternatywne rozwiązanie (proporcja): Jeśli $40\%$ to dziewczęta, to $100\% - 40\% = 60\%$ to chłopcy. Liczba chłopców $= 25 \cdot 60\% = 25 \cdot \frac{60}{100} = 25 \cdot 0.6$. $25 \cdot 0.6 = 15$.

Sprawdzenie: $10$ dziewcząt i $15$ chłopców daje $10+15=25$ uczniów. $\frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0.4 = 40\%$ (dziewczęta). $\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6 = 60\%$ (chłopcy). Wynik jest poprawny.

• Obliczanie procentu z pierwotnej ceny po podwyżce/obniżce: W zadaniach typu "podwyżka, potem obniżka" (lub odwrotnie) pamiętaj, że kolejna zmiana procentowa jest liczona od aktualnej ceny (po poprzedniej zmianie), a nie od ceny początkowej. Przykład 2 ilustruje ten błąd. Obniżenie ceny o $20\%$ od pierwotnej kwoty ($1200 \cdot 0.20 = 240$) zamiast od kwoty po podwyżce ($1320 \cdot 0.20 = 264$) prowadzi do błędnego wyniku.
• Mylenie proporcji prostej z odwrotnie proporcjonalną: Zawsze zastanów się, czy wielkości rosną lub maleją razem (prosta proporcja), czy też gdy jedna rośnie, druga maleje (odwrotna proporcja).
• Błędy rachunkowe: Długie obliczenia, zwłaszcza z ułamkami dziesiętnymi i liczbami z wieloma zerami, są podatne na błędy. Warto sprawdzać obliczenia lub stosować alternatywne metody (jak w Przykładzie 1 i 3).
• Nieprawidłowe przekształcanie wzorów: Przy obliczaniu liczby, gdy znamy jej procent, łatwo popełnić błąd dzieląc zamiast mnożyć lub odwrotnie. Wzór $L = W \cdot \frac{100}{p}$ jest kluczowy. Upewnij się, że mnożysz przez $\frac{100}{p}$, a nie przez $\frac{p}{100}$.
• Zbyt szybkie zaokrąglanie: Jeśli zadanie nie wymaga zaokrąglenia, staraj się pracować na dokładnych ułamkach lub liczbach. Zaokrąglanie wyników pośrednich może prowadzić do znaczących błędów w końcowym rezultacie.

1. Oblicz $35\%$ liczby $150$.
2. Znajdź liczbę, której $20\%$ wynosi $45$.
3. Cena telewizora wynosiła $2500$ zł. Obniżono ją o $15\%$. Jaka jest nowa cena?
4. Pewna liczba po zwiększeniu o $25\%$ wynosi $200$. Jaka była liczba pierwotna?
5. W sklepie sportowym jest $60$ par butów. $30\%$ z nich to buty do biegania. Pozostałe to buty piłkarskie. Ile par butów piłkarskich jest w sklepie?
6. Pociąg miał przejechać trasę $300$ km w $5$ godzin. Po godzinie jazdy okazało się, że prędkość należy zmniejszyć o $10\%$. Po zmianie prędkości, ile czasu zajmie pociągowi pokonanie reszty trasy?
7. Pan Janek wpłacił $5000$ zł na lokatę bankową oprocentowaną na $3\%$ w skali roku. Po ilu latach (przy kapitalizacji rocznej) stan jego konta przekroczy $5400$ zł?

1. Jak zapisać $5\%$ jako ułamek dziesiętny?
2. Jak obliczyć $10\%$ danej liczby?
3. Czym różni się obniżka o $10\%$ od zwiększenia o $10\%$?
4. Jeśli cena $X$ została podwyższona o $20\%$ i wynosi teraz $120$ zł, to ile wynosiła cena $X$?
5. Jeśli na trasę $100$ km potrzeba $2$ godzin przy stałej prędkości, ile czasu zajmie pokonanie tej trasy, jeśli prędkość zostanie zmniejszona dwukrotnie?