Sinus, cosinus, tangens

Trygonometria pojawia się na maturze podstawowej zazwyczaj w 2-3 zadaniach, w tym jednym otwartym. Zadania te sprawdzają znajomość definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, wartości dla kątów ostrych oraz podstawowe tożsamości trygonometryczne. Punkty za te zadania wynoszą zazwyczaj łącznie około 5-8.

Zrozumienie definicji sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym.
Umiejętność obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.
Znajomość podstawowych tożsamości trygonometrycznych.
Stosowanie trygonometrii do rozwiązywania zadań z geometrii (obliczanie długości boków, wysokości).
Umiejętność odczytywania wartości funkcji trygonometrycznych z rysunku.
Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych (zazwyczaj z wartościami z tabelki).

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$ . Niech $\alpha$ będzie jednym z kątów ostrych tego trójkąta.

Sinus kąta $\alpha$ ( $\sin \alpha$ ) – stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej. $\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{a}{c}$
Cosinus kąta $\alpha$ ( $\cos \alpha$ ) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej. $\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{b}{c}$
Tangens kąta $\alpha$ ( $\tan \alpha$ ) – stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta. $\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{a}{b}$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych:

| Kąt | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ | | :--------- | :---------------- | :---------------- | :---------------- | | $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | | $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

Jedynka trygonometryczna: Dla dowolnego kąta $\alpha$ : $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ Uwaga: $\sin^2 \alpha$ oznacza $(\sin \alpha)^2$ .
Zależność między tangensem a sinusem i cosinusem: Dla dowolnego kąta $\alpha$ , dla którego $\cos \alpha \neq 0$ : $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Ważne własności:

Dla kątów ostrych ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ):
- $\sin \alpha > 0$
- $\cos \alpha > 0$
- $\tan \alpha > 0$
Funkcja sinus jest rosnąca w przedziale $[0^\circ, 90^\circ]$ .
Funkcja cosinus jest malejąca w przedziale $[0^\circ, 90^\circ]$ .
Funkcja tangens jest rosnąca w przedziale $[0^\circ, 90^\circ)$ .

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 cm i 4 cm. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta $\alpha$ leżącego naprzeciwko krótszej przyprostokątnej.

Krok 1. Narysuj trójkąt prostokątny i oznacz jego boki. Krótsza przyprostokątna ma długość 3, dłuższa 4. Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku o długości 3.

Krok 2. Oblicz długość przeciwprostokątnej $c$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$ . Niech $a = 3$ , $b = 4$ . $3^2 + 4^2 = c^2$ $9 + 16 = c^2$ $25 = c^2$ $c = \sqrt{25} = 5$ cm (długość musi być dodatnia).

Krok 3. Zastosuj definicję sinusa. Przyprostokątna naprzeciwległa do $\alpha$ ma długość $a = 3$ , przeciwprostokątna $c = 5$ . $\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$

Krok 4. Zastosuj definicję cosinusa. Przyprostokątna przyległa do $\alpha$ ma długość $b = 4$ , przeciwprostokątna $c = 5$ . $\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{4}{5}$

Krok 5. Zastosuj definicję tangensa. Przyprostokątna naprzeciwległa do $\alpha$ ma długość $a = 3$ , przyprostokątna przyległa $b = 4$ . $\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}$

Sprawdzenie: Możemy sprawdzić, czy zachodzi jedynka trygonometryczna: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$ . Zgadza się. Możemy też sprawdzić zależność tangensa: $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} = \tan \alpha$ . Zgadza się.

W trójkącie prostokątnym ABC, kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym. Długość przyprostokątnej AC wynosi 6, a długość przeciwprostokątnej AB wynosi 10. Oblicz $\sin(\angle ABC)$ .

Krok 1. Narysuj trójkąt prostokątny ABC. Oznacz kąt prosty przy C. Zaznacz dane długości: $AC = 6$ (jedna przyprostokątna), $AB = 10$ (przeciwprostokątna).

Krok 2. Zidentyfikuj kąt, dla którego mamy obliczyć funkcję trygonometryczną. Jest to kąt przy wierzchołku B, oznaczmy go jako $\beta = \angle ABC$ .

Krok 3. Określ, które boki trójkąta są "naprzeciwległe" i "przyległe" do kąta $\beta$ .

Przyprostokątna naprzeciwległa do $\beta$ to bok $AC$ .
Przyprostokątna przyległa do $\beta$ to bok $BC$ .
Przeciwprostokątna to bok $AB$ .

Krok 4. Zauważ, że znamy długość boku $AC$ (naprzeciwległego do $\beta$ ) i przeciwprostokątnej $AB$ . Mamy więc dane potrzebne do obliczenia sinusa. $\sin(\angle ABC) = \sin \beta = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{AC}{AB}$

Krok 5. Podstaw dane i oblicz wynik. $\sin \beta = \frac{6}{10}$ Po skróceniu ułamka otrzymujemy: $\sin \beta = \frac{3}{5}$

Dodatkowe zadanie (sprawdzenie): Oblicz cosinus $\angle ABC$ . Najpierw musimy obliczyć długość przyprostokątnej $BC$ . Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $6^2 + BC^2 = 10^2$ $36 + BC^2 = 100$ $BC^2 = 100 - 36 = 64$ $BC = \sqrt{64} = 8$ . Teraz możemy obliczyć cosinus: $\cos(\angle ABC) = \cos \beta = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ . Możemy też obliczyć tangens $\angle ABC$ : $\tan(\angle ABC) = \tan \beta = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym jeden z kątów ostrych wynosi $30^\circ$ . Krótsza przyprostokątna ma długość 5. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Krok 1. Zidentyfikuj dane: kąt ostry $\alpha = 30^\circ$ , krótsza przyprostokątna $a = 5$ . Ponieważ $\alpha = 30^\circ$ , to przyprostokątna leżąca naprzeciwko tego kąta jest krótsza (w porównaniu do przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta $60^\circ$ ). Zatem $a=5$ to przyprostokątna naprzeciwległa do kąta $30^\circ$ .

Krok 2. Zapisz definicję funkcji trygonometrycznej, która wiąże znany kąt, znaną przyprostokątną naprzeciwległą i szukaną przeciwprostokątną. Jest to sinus. $\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$

Krok 3. Podstaw znane wartości do wzoru. Niech $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej. $\sin 30^\circ = \frac{5}{c}$

Krok 4. Odczytaj wartość $\sin 30^\circ$ z tabelki lub tablic trygonometrycznych. $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ . $\frac{1}{2} = \frac{5}{c}$

Krok 5. Rozwiąż równanie, aby wyznaczyć $c$ . Mnożymy na krzyż: $1 \cdot c = 2 \cdot 5$ $c = 10$

Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi 10.

** Mylenie przyprostokątnych:** Uczniowie często mylą, która przyprostokątna jest "naprzeciwległa", a która "przylega" do danego kąta. Zawsze rysuj trójkąt i wyraźnie zaznaczaj kąt, dla którego liczysz funkcje. Patrz "na wprost" boku dla naprzeciwległej, "obok" boku dla przyległej.
** Nieprawidłowe przypisanie wartości z tabelki:** Wartości dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ są kluczowe. Pomylenie $\sin 30^\circ$ z $\cos 30^\circ$ lub $\tan 30^\circ$ z $\tan 60^\circ$ prowadzi do błędnych wyników. Szczególnie uważać na tangensy: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ to $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
** Brak twierdzenia Pitagorasa:** Wiele zadań wymaga obliczenia trzeciego boku trójkąta prostokątnego przed zastosowaniem definicji trygonometrycznych. Zapomnienie o twierdzeniu Pitagorasa lub jego błędne zastosowanie uniemożliwia rozwiązanie. Pamiętaj: $a^2 + b^2 = c^2$ .
** Nieznajomość podstawowych tożsamości:** Zadania mogą polegać na przekształceniach wykorzystujących $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ lub $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ . Brak znajomości tych wzorów ogranicza możliwości rozwiązania.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 cm i 12 cm. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego leżącego naprzeciwko boku o długości 5 cm.
Dany jest trójkąt prostokątny ABC, gdzie $\angle C = 90^\circ$ . Wiadomo, że $AC = 8$ i $BC = 6$ . Oblicz $\cos(\angle ABC)$ .
Oblicz wartość wyrażenia: $2 \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ$ .
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $60^\circ$ . Przeciwprostokątna ma długość 14. Oblicz długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta.
Długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym wynosi 13 cm, a długość jednej z przyprostokątnych to 5 cm. Oblicz sinus i cosinus obu kątów ostrych tego trójkąta.
Przekształć wyrażenie $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ wiedząc, że $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ . (Podpowiedź: pomnóż licznik i mianownik przez $\cos \alpha$ ). Nie jest to standardowe zadanie CKE, ale testuje rozumienie zależności.
Dany jest trójkąt prostokątny. Sinus jednego z kątów ostrych wynosi $\frac{3}{5}$ . Oblicz cosinus i tangens tego kąta.

Przeciwprostokątna $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ . Kąt $\alpha$ naprzeciwko 5. $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ , $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ , $\tan \alpha = \frac{5}{12}$ .
Kąt $\angle ABC$ jest kątem przy wierzchołku B. Naprzeciwległa przyprostokątna to $AC=8$ . Przyległa to $BC=6$ . Przeciwprostokątna $AB = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$ . $\cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
$2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ .
Kąt $60^\circ$ . Przyprostokątna naprzeciwko $a$ . Przeciwprostokątna $c = 14$ . $\sin 60^\circ = \frac{a}{c}$ . $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{14}$ . $a = 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ .
Przeciwprostokątna $c=13$ , przyprostokątna $a=5$ . Druga przyprostokątna $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ . Kąty $\alpha$ i $\beta$ . $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ , $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ . $\sin \beta = \frac{12}{13}$ , $\cos \beta = \frac{5}{13}$ .
$\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$ - to nie jest cel pomnożenia. Cel to $\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{(1+\cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$ - to nie jest to. Pomnóż licznik i mianownik przez $\cos \alpha$ : $\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$ - źle. Prawidłowo: $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$ - źle. Pomnóż licznik i mianownik przez $\cos \alpha$ : $\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}{(1 + \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$ . Nie, chodziło o przekształcenie, by użyć $\tan$ . Nie ma prostego przekształcenia do tangensa. Poprawne przekształcenie: $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha(1-\cos \alpha)}{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1-\cos \alpha)}{1-\cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha(1-\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$ . To jest bardziej zaawansowane. Zostawiamy to. Zamiast tego, typowe przekształcenie: $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (1-\cos \alpha)}{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha (1-\cos \alpha)}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha (1-\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$ .
Z rysunku trójkąta prostokątnego: przyprostokątna naprzeciwległa $= 3$ , przeciwprostokątna $= 5$ . Druga przyprostokątna $b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ . $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ , $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ .

Podaj definicję sinusa w trójkącie prostokątnym.
Jakie są wartości $\sin 45^\circ$ i $\tan 60^\circ$ ?
Jaka jest zależność między $\sin \alpha$ a $\cos \alpha$ , znana jako jedynka trygonometryczna?
Jeśli $\tan \alpha = 1$ , to jaki jest kąt $\alpha$ ?
W trójkącie prostokątnym kąt $\alpha$ ma $30^\circ$ . Czy przyprostokątna naprzeciwległa do $\alpha$ jest dłuższa, czy krótsza od przyprostokątnej przyległej do $\alpha$ ?

        /|
       / |
      /  | a (przyprostokątna naprzeciwległa do alfa)
     /   |
 c  /    |
(pr-  /     |
-ci- /      |
-w- /       |
-pr- / alfa  +-------+
-os- B----b----C
-tk-       (przyprostokątna przyległa do alfa)
-a) /
  /
 /
A

Zrozumienie definicji sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym.
Umiejętność obliczania wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.
Znajomość podstawowych tożsamości trygonometrycznych.
Stosowanie trygonometrii do rozwiązywania zadań z geometrii (obliczanie długości boków, wysokości).
Umiejętność odczytywania wartości funkcji trygonometrycznych z rysunku.
Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych (zazwyczaj z wartościami z tabelki).

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej $c$ . Niech $\alpha$ będzie jednym z kątów ostrych tego trójkąta.

Sinus kąta $\alpha$ ( $\sin \alpha$ ) – stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej. $\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{a}{c}$
Cosinus kąta $\alpha$ ( $\cos \alpha$ ) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej. $\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{b}{c}$
Tangens kąta $\alpha$ ( $\tan \alpha$ ) – stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta. $\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{a}{b}$

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów ostrych:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

Jedynka trygonometryczna: Dla dowolnego kąta $\alpha$ : $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ Uwaga: $\sin^2 \alpha$ oznacza $(\sin \alpha)^2$ .
Zależność między tangensem a sinusem i cosinusem: Dla dowolnego kąta $\alpha$ , dla którego $\cos \alpha \neq 0$ : $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Ważne własności:

Dla kątów ostrych ( $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ ):
- $\sin \alpha > 0$
- $\cos \alpha > 0$
- $\tan \alpha > 0$
Funkcja sinus jest rosnąca w przedziale $[0^\circ, 90^\circ]$ .
Funkcja cosinus jest malejąca w przedziale $[0^\circ, 90^\circ]$ .
Funkcja tangens jest rosnąca w przedziale $[0^\circ, 90^\circ)$ .