Zastosowania trygonometrii

Zadania wykorzystujące trygonometrię pojawiają się na maturze podstawowej regularnie, zarówno jako zadania zamknięte (zwykle 1-2 punkty), jak i otwarte (3-4 punkty). CKE często sprawdza umiejętność stosowania podstawowych funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens) w kontekście geometrii, szczególnie w trójkątach prostokątnych i równoległobokach, a także w zadaniach tekstowych wymagających obliczenia odległości lub wysokości. Kluczowe jest swobodne operowanie wzorami i interpretacja wyników.

W tej lekcji nauczysz się:

1. Stosować definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
2. Obliczać boki i kąty w trójkątach prostokątnych, wykorzystując trygonometrię.
3. Rozwiązywać zadania tekstowe dotyczące obliczeń wysokości i odległości.
4. Wyznaczać elementy w równoległobokach przy użyciu trygonometrii.
5. Interpretować zależności trygonometryczne w zadaniach praktycznych.
6. Korzystać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych lub kalkulatora naukowego (jeśli dozwolony) do znajdowania przybliżonych wartości.
7. Rozumieć związki między funkcjami trygonometrycznymi a kątami ostrymi.

Trygonometria zajmuje się związkami między kątami a bokami trójkąta. Na poziomie podstawowym skupiamy się głównie na trójkącie prostokątnym.

• Trójkąt prostokątny: Trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę $90^\circ$. Boki przylegające do kąta prostego nazywamy przyprostokątnymi, a bok leżący naprzeciwko kąta prostego – przeciwprostokątną.

• Funkcje trygonometryczne kąta ostrego ($\alpha$) w trójkącie prostokątnym: Niech $a$ i $b$ będą długościami przyprostokątnych, a $c$ długością przeciwprostokątnej. Niech przyprostokątna $a$ leży naprzeciwko kąta $\alpha$, a przyprostokątna $b$ leży przy kącie $\alpha$.

  • Sinus ($\sin \alpha$): Stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej. $\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{a}{c}$

  • Cosinus ($\cos \alpha$): Stosunek długości przyprostokątnej przy kącie $\alpha$ do długości przeciwprostokątnej. $\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{b}{c}$

  • Tangens ($\tan \alpha$): Stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta $\alpha$ do długości przyprostokątnej przy kącie $\alpha$. $\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przyprostokątna przy } \alpha} = \frac{a}{b}$ Można też zapisać tangens jako: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

• Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°: | Kąt $\alpha$ | $\sin \alpha$ | $\cos \alpha$ | $\tan \alpha$ | | :--------- | :------------------ | :------------------ | :----------------- | | 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | | 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ | | 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |

• Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym: Kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. $a^2 + b^2 = c^2$

• Zastosowanie w zadaniach:

  • Gdy znamy kąt i jedną przyprostokątną, możemy obliczyć drugą przyprostokątną lub przeciwprostokątną.
  • Gdy znamy kąt i przeciwprostokątną, możemy obliczyć obie przyprostokątne.
  • Gdy znamy dwie przyprostokątne, możemy obliczyć przeciwprostokątną (twierdzenie Pitagorasa) i kąty (funkcje trygonometryczne).
  • Gdy znamy przyprostokątną i przeciwprostokątną, możemy obliczyć drugą przyprostokątną (twierdzenie Pitagorasa) i kąty.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $30^\circ$, a przyprostokątna leżąca naprzeciwko tego kąta ma długość 5 cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej.

Krok 1. Narysuj trójkąt prostokątny i oznacz jego boki oraz kąty. Oznaczmy kąt ostry jako $\alpha = 30^\circ$. Przyprostokątna naprzeciwko tego kąta ma długość $a = 5$ cm. Drugą przyprostokątną oznaczmy jako $b$, a przeciwprostokątną jako $c$.

Krok 2. Zastosuj funkcję tangens, aby obliczyć długość drugiej przyprostokątnej ($b$). Wiemy, że $\tan \alpha = \frac{a}{b}$. $\tan 30^\circ = \frac{5}{b}$ Z tablic lub ze wzoru wiemy, że $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{b}$

Krok 3. Rozwiąż równanie z niewiadomą $b$. $b \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3$ $b \sqrt{3} = 15$ $b = \frac{15}{\sqrt{3}}$ Usuń niewymierność z mianownika: $b = \frac{15 \sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$

Krok 4. Zastosuj funkcję sinus, aby obliczyć długość przeciwprostokątnej ($c$). Wiemy, że $\sin \alpha = \frac{a}{c}$. $\sin 30^\circ = \frac{5}{c}$ Z tablic wiemy, że $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. $\frac{1}{2} = \frac{5}{c}$

Krok 5. Rozwiąż równanie z niewiadomą $c$. $c = 5 \cdot 2 = 10 \text{ cm}$

Sprawdzenie: Możemy sprawdzić, czy twierdzenie Pitagorasa jest spełnione: $a^2 + b^2 = c^2$. $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + (25 \cdot 3) = 25 + 75 = 100$. $c^2 = 10^2 = 100$. Twierdzenie Pitagorasa jest spełnione.

Odpowiedź: Długość drugiej przyprostokątnej wynosi $5\sqrt{3}$ cm, a przeciwprostokątnej 10 cm.

Drabina o długości 4 metrów jest oparta o pionową ścianę. Kąt między drabiną a podłożem wynosi $60^\circ$. Oblicz, na jaką wysokość sięga drabina i jak daleko od ściany znajduje się jej dolny koniec. Wynik podaj z dokładnością do 0.1 metra.

Krok 1. Zinterpretuj zadanie i narysuj schemat. Drabina, ściana i podłoże tworzą trójkąt prostokątny. Drabina jest przeciwprostokątną ($c = 4$ m). Wysokość, na jaką sięga drabina, to przyprostokątna pionowa ($h$). Odległość dolnego końca drabiny od ściany to przyprostokątna pozioma ($d$). Kąt między drabiną a podłożem to $\alpha = 60^\circ$.

      /|
     / | h (wysokość)
    /  |
 c /   |
  /    |
 /_ _ _|
   d
(podłoże)

Krok 2. Oblicz wysokość ($h$), na jaką sięga drabina. Jest to przyprostokątna naprzeciwko kąta $\alpha$. Użyj funkcji sinus: $\sin \alpha = \frac{h}{c}$ $\sin 60^\circ = \frac{h}{4}$ Z tablic: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4}$

Krok 3. Rozwiąż równanie z niewiadomą $h$. $h = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ m}$ Oblicz przybliżoną wartość: $\sqrt{3} \approx 1.732$. $h \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464 \text{ m}$ Zaokrąglij do 0.1 metra: $h \approx 3.5$ m.

Krok 4. Oblicz odległość dolnego końca drabiny od ściany ($d$). Jest to przyprostokątna przy kącie $\alpha$. Użyj funkcji cosinus: $\cos \alpha = \frac{d}{c}$ $\cos 60^\circ = \frac{d}{4}$ Z tablic: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. $\frac{1}{2} = \frac{d}{4}$

Krok 5. Rozwiąż równanie z niewiadomą $d$. $d = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ m}$ W tym przypadku wynik jest dokładny, więc nie wymaga zaokrąglenia.

Sprawdzenie: Można sprawdzić za pomocą twierdzenia Pitagorasa z przybliżonymi wartościami: $h^2 + d^2 \approx (3.5)^2 + 2^2 = 12.25 + 4 = 16.25$. $c^2 = 4^2 = 16$. Przybliżenia nieznacznie wpływają na wynik, ale wartości są bliskie. Dokładniejsze sprawdzenie z użyciem $2\sqrt{3}$: $(2\sqrt{3})^2 + 2^2 = (4 \cdot 3) + 4 = 12 + 4 = 16$. $c^2 = 4^2 = 16$. Zgadza się.

Odpowiedź: Drabina sięga na wysokość około 3.5 metra, a jej dolny koniec znajduje się 2 metry od ściany.

Równoległobok ma boki o długości 6 cm i 8 cm. Jeden z kątów tego równoległoboku ma miarę $150^\circ$. Oblicz pole tego równoległoboku.

Krok 1. Przypomnij wzór na pole równoległoboku. Pole równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\alpha$ między nimi wynosi $P = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. W tym zadaniu mamy $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, a kąt $\alpha = 150^\circ$.

Krok 2. Zauważ, że funkcja sinus jest dodatnia dla kątów rozwartych (między $90^\circ$ a $180^\circ$). Kąt $150^\circ$ jest kątem rozwartym. Kąt $150^\circ$ jest suplementarny do kąta $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. Zachodzi zależność: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Zatem $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ$.

Krok 3. Użyj wartości $\sin 30^\circ$. Z tablic trygonometrycznych wiemy, że $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Stąd $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$.

Krok 4. Podstaw wartości do wzoru na pole równoległoboku. $P = a \cdot b \cdot \sin \alpha$ $P = 6 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm} \cdot \sin 150^\circ$ $P = 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

Krok 5. Oblicz pole. $P = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ cm}^2$

Sprawdzenie: Pole jest dodatnie, jednostki są poprawne (cm$^2$). Wartość $\sin 150^\circ$ jest poprawna. Obliczenia arytmetyczne są proste i wyglądają na poprawne.

Odpowiedź: Pole równoległoboku wynosi $24 \text{ cm}^2$.

• Mylenie przyprostokątnych: Pamiętaj, która przyprostokątna jest "naprzeciwko" kąta, a która jest "przy" kącie. To kluczowe przy stosowaniu sinusa i tangensa.
• Zastosowanie niewłaściwej funkcji: Jeśli chcesz obliczyć bok leżący naprzeciwko kąta, a znasz przyprostokątną przy tym kącie i kąt, użyj tangensa ($\tan = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przy}}$). Jeśli znasz przeciwprostokątną, użyj sinusa ($\sin = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}$).
• Błędy w obliczeniach trygonometrycznych: Szczególnie przy usuwaniu niewymierności lub przy podstawianiu wartości kątów specjalnych (30°, 45°, 60°). Zawsze sprawdzaj te wartości.
• Zadania tekstowe - rysunek: Bez poprawnego rysunku i oznaczeń łatwo pomylić boki i kąty w zadaniach tekstowych, szczególnie tych dotyczących np. wysokości obiektów, nachylenia terenów. Zawsze rysuj schemat!
• Kąty rozwarte: W zadaniach typu pole równoległoboku lub sinus/cosinus kąta rozwartego, pamiętaj o korzystaniu z zależności $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ oraz $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Dla sinusa często wynik jest dodatni, dla cosinusa ujemny.

1. W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $45^\circ$. Przeciwprostokątna ma długość $6\sqrt{2}$ cm. Oblicz długości przyprostokątnych.
2. Oblicz wysokość wieży, jeśli w odległości 50 metrów od jej podstawy promień słońca padający na szczyt wieży tworzy z ziemią kąt $30^\circ$.
3. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 10 cm i 4 cm, jeśli krótsza przekątna ma długość 6 cm. (Wskazówka: Zastosuj twierdzenie cosinusów lub podziel równoległobok na dwa trójkąty).
4. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 7 cm i 24 cm. Oblicz sinus i tangens młodszego z kątów ostrych.
5. Kąt nachylenia dachu do płaszczyzny poziomej wynosi $20^\circ$. Oblicz wysokość, na jaką sięga dach nad budynkiem o szerokości 12 metrów, jeśli dach ma kształt trójkąta równoramiennego, a jego ramiona mają długość 10 metrów. (Wskazówka: Dzielisz trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne).
6. Oblicz pole trójkąta prostokątnego, jeśli jedna przyprostokątna ma długość 8 cm, a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę $60^\circ$.
7. Długość okna (przekątna) wynosi 1.5 metra. Okno jest uchylone pod kątem $45^\circ$. Na jaką odległość wysunęło się górne ramię okna od pionu?

1. Jakie są definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym?
2. Podaj wartości $\sin 45^\circ$, $\cos 30^\circ$ i $\tan 60^\circ$.
3. Jaki jest wzór na pole równoległoboku, wykorzystujący boki i kąt między nimi?
4. W jakim celu stosujemy twierdzenie Pitagorasa w zadaniach z trygonometrii?
5. Jak obliczyć wysokość drzewa, jeśli znamy odległość od jego podstawy i kąt padania promieni słonecznych na szczyt?

      /|
     / |  b (przyprostokątna przy kącie alfa)
    /  |
 c /   | a (przyprostokątna naprzeciwko kąta alfa)
  /    |
 /_ _ _|
   alfa